Question

19．圖1和圖2，半圓O的直徑AB=2，點(diǎn)P（不與點(diǎn)A，B重合）為半圓上一點(diǎn)，將圖形延BP折疊，分別得到點(diǎn)A，O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，O′，設(shè)∠ABP=α．

（1）當(dāng)α=15°時(shí)，過(guò)點(diǎn)A′作A′C∥AB，如圖1，判斷A′C與半圓O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（2）如圖2，當(dāng)α=45°時(shí)，BA′與半圓O相切．當(dāng)α=30°時(shí)，點(diǎn)O′落在$\widehat{PB}$上．

Answer 1

分析 （1）過(guò)O作OD⊥A′C于點(diǎn)D，交A′B于點(diǎn)E，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可求得DE+OE=$\frac{1}{2}$A′B=$\frac{1}{2}$AB=OA，可判定A′C與半圓相切；
（2）當(dāng)BA′與半圓相切時(shí)，可知OB⊥A′B，則可知α=45°，當(dāng)O′在$\widehat{PB}$上時(shí)，連接AO′，則可知BO′=$\frac{1}{2}$AB，可求得∠O′BA=60°，可求得α=30°．

解答 解：（1）相切，理由如下：
如圖1，過(guò)O作OD過(guò)O作OD⊥A′C于點(diǎn)D，交A′B于點(diǎn)E，

∵α=15°，A′C∥AB，
∴∠ABA′=∠CA′B=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$A′E，OE=$\frac{1}{2}$BE，
∴DO=DE+OE=$\frac{1}{2}$（A′E+BE）=$\frac{1}{2}$AB=OA，
∴A′C與半圓O相切；
（2）當(dāng)BA′與半圓O相切時(shí)，則OB⊥BA′，
∴∠OBA′=2α=90°，
∴α=45°，
當(dāng)O′在$\widehat{PB}$上時(shí)，如圖2，

連接AO′，則可知BO′=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠O′AB=30°，
∴∠ABO′=60°，
∴α=30°，
故答案為：45°；30°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查切線的判定和性質(zhì)及含特殊角的直角三角形的性質(zhì)，掌握切線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意切線的判定方法有兩種，即①有切點(diǎn)時(shí)連接圓心和切點(diǎn)證明垂直，②無(wú)切點(diǎn)時(shí)作垂直證明圓心到直線的距離等于半徑．