Question

存在這樣的有理數a，b，c滿足a＜b＜c，使得分式

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

的值等于（　�。�

• A、-2003
• B、0
• C、2003
• D、-

  2003

Answer 1

考點：分式的化簡求值

專題：探究型

分析：先根據a，b，c為有理數，且滿足a＜b＜c設a-b=x＜0，b-c=y＜0，c-a=z＞0，則x+y+z=a-b+b-c+c-a=0，故可得出（x+y+x）²=x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx=0，即xy+yz+zx=-

1

2

（x²+y²+z²）＜0且為有理數，根據xyz＞0，可知

1

x

+

1

y

+

1

z

=

yz+xz+xy

xyz

=

x2+y2+z2

2xyz

＜0且為有理數，故可得出結論．

解答：解：∵a，b，c為有理數，且滿足a＜b＜c，
∴設a-b=x＜0，b-c=y＜0，c-a=z＞0，
則x+y+z=a-b+b-c+c-a=0，
∴（x+y+x）²=x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx=0，
∴xy+yz+zx=-

1

2

（x²+y²+z²）＜0且為有理數，
∵xyz＞0，
∴

1

x

+

1

y

+

1

z

=

yz+xz+xy

xyz

=

x2+y2+z2

2xyz

＜0且為有理數．
故選A．

點評：本題考查的是分式的化簡求值，先根據題意設出-b=x＜0，b-c=y＜0，c-a=z＞0是解答此題的關鍵．