2.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,分別以直角邊AC和斜邊AB向外作等邊△ACD、等邊△ABE,過點(diǎn)E,作EF⊥AB,垂足為F,連結(jié)DF.求證:AE=DF.

分析 求出∠ABC=60°,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出等邊三角形,∠DAC=∠BAE=∠FAE=60°,AB=AE,AC=AD,根據(jù)AAS推出Rt△ABC≌Rt△AEF,根據(jù)全等得出EF=AC=AD,求出∠DAB=∠AFE,推出AD∥EF,得到四邊形ADFE是平行四邊形,進(jìn)而得到結(jié)論.

解答 證明:∵在Rt△ABC中,∠BAC=30°,
∴∠ABC=60°,
∵△ACD、△ABE是等邊三角形,
∴∠DAC=∠BAE=∠FAE=60°,AB=AE,AC=AD,
∵EF⊥AB,即∠AFE=90°,
∴△AEF是直角三角形,
在Rt△ABC和Rt△AEF中,
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠FAE=∠ABC}\\{∠AFE=∠ACB}\end{array}\right.$,
∴Rt△ABC≌Rt△AEF(AAS),
∴EF=AC=AD,
∵∠DAB=∠DAC+∠CAB=60°+30°=90°,
∴∠DAB=∠AFE,
∴AD∥EF,
∴四邊形ADFE是平行四邊形,
∴AE=DF.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定,等邊三角形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用,能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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14.計(jì)算
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