Question

已知拋物線y=-

1

4

x2+bx+c與x軸交于A、B，與y軸交于點C，連結AC、BC，D是線段OB上一動點，以CD為一邊向右側作正方形CDEF，連結BF．若S_△OBC=8，AC=BC
（1）求拋物線的解析式；
（2）求證：BF⊥AB；
（3）求∠FBE；
（4）當D點沿x軸正方向移動到點B時，點E也隨著運動，則點E所走過的路線長是______．

Answer 1

（1）如圖，∵AC=BC，
∴該拋物線的對稱軸是y軸，則b=0．
∴C（0，c），B（

4c

，0）．
∵S_△OBC=8，
∴

1

2

OC•OB=

1

2

×c×

4c

=8，解得c=4（c＞0）．
故該拋物線的解析式為y=-

1

4

x²+4；

（2）證明：由（1）得到拋物線的解析式為y=-

1

4

x²+4；
令y=0，得x₁=4，x₂=-4，
∴A（-4，0），B（4，0），
∴OA=OB=OC，
∴△ABC是等腰直角三角形；
如圖，又∵四邊形CDEF是正方形，
∴AC=BC，CD=CF，∠ACD=∠BCF，
在△ACD和△BCF中

AC=BC ∠ACD=∠BCF CD=CF

，
∴△ACD≌△BCF（SAS），
∴∠CBF=∠CAD=45°，
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，
∴BF⊥AB；

（3）如圖，連接BE，過點E作EM⊥x軸于點M．
易證△ODC≌△DME，則DM=OC=4，OD=EM．
∵OD=OB-BD=4-BD=DM-BD=BM，
∴BM=EM．
∵∠EMB=90°，
∴∠MBE=∠MEB=45°；
由（2）知，BF⊥AB，
∴∠FBE=∠FBM-∠MBE=45°；

（4）由（3）知，點E在定直線上，當點D沿x軸正方向移動到點B時，點E所走過的路程長等于BC=4

2

．故答案是：4

2

．