如圖,拋物線:y=
1
2
x2+bx+c
與x軸交于A、B(A在B左側(cè)),頂點為C(1,-2),
(1)求此拋物線的關(guān)系式;并直接寫出點A、B的坐標.
(2)求過A、B、C三點的圓的半徑.
(3)在拋物線上找點P,在y軸上找點E,使以A、B、P、E為頂點的四邊形是平行四邊形,求點P、E的坐標.
(1)∵拋物線y=
1
2
x2+bx+c的頂點為C(1,-2),
∴-
b
2a
=-
b
1
2
=1,
解得b=-1,
4ac-b2
4a
=
1
2
c-(-1)2
1
2
=-2,
解得c=-
3
2
,
∴拋物線解析式為y=
1
2
x2-x-
3
2

令y=0,則
1
2
x2-x-
3
2
=0,
解得x1=-1,x2=3,
∴點A、B的坐標為:A(-1,0)、B(3,0);

(2)∵A(-1,0)、B(3,0)、C(1,-2),
∴AB=3-(-1)=4,
AC=
(-1-1)2+[0-(-2)]2
=2
2
,
BC=
(3-1)2+[0-(-2)]2
=2
2

∴AB2=16,AC2+BC2=8+8=16,
∴AB2=AC2+BC2,
∴△ABC是直角三角形,AB是直徑,
故半徑為2;

(3)①當(dāng)AB是平行四邊形的邊時,PE=AB=4,且點P、E的縱坐標相等,
∴點P的橫坐標為4或-4,
∴y=
1
2
×42-4-
3
2
=
5
2

或y=
1
2
×42+4-
3
2
=
21
2
,
∴點P、E的坐標為P1(4,
5
2
)、E1(0,
5
2
)或P2(-4,
21
2
)、E2(0,
21
2
),
②如圖,當(dāng)AB是平行四邊形的對角線時,PE平分AB,
∴PE與x軸的交點坐標D(1,0),
過點P作PF⊥AB,則OD=FD,
∴點F的坐標為(2,0),
∴點P的橫坐標為2,
y=
1
2
×22-2-
3
2
=-
3
2

∴點P的縱坐標為
3
2
,
∴點P、E的坐標為P3(2,-
3
2
)、E3(0,
3
2
),
綜上所述,點P、E的坐標為:P1(4,
5
2
)、E1(0,
5
2
)或P2(-4,
21
2
)、E2(0,
21
2
)或P3(2,-
3
2
)、E3(0,
3
2
).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線y=-
1
4
x2+bx+c
與x軸交于A、B,與y軸交于點C,連結(jié)AC、BC,D是線段OB上一動點,以CD為一邊向右側(cè)作正方形CDEF,連結(jié)BF.若S△OBC=8,AC=BC
(1)求拋物線的解析式;
(2)求證:BF⊥AB;
(3)求∠FBE;
(4)當(dāng)D點沿x軸正方向移動到點B時,點E也隨著運動,則點E所走過的路線長是______.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

學(xué)校大門如圖所示是一拋物線形水泥建筑物,大門的地面寬度為8米,兩側(cè)距地4米高處各有一掛校名橫匾用的鐵環(huán),兩鐵環(huán)的水平距離為6米,則該校門的高度(精確到0.1米)為( 。
A.8.9米B.9.1米C.9.2米D.9.3米

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在直角坐標系中,以AB為直徑的⊙C交x軸于A,交y軸于B,滿足OA:OB=4:3,以O(shè)C為直徑作⊙D,設(shè)⊙D的半徑為2.
(1)求⊙C的圓心坐標;
(2)過C作⊙D的切線EF交x軸于E,交y軸于F,求直線EF的解析式;
(3)拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸過C點,頂點在⊙C上,與y軸交點為B,求拋物線的解析式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線y=kx2+2kx-3k,交x軸于A、B兩點(A在B的左邊),交y軸于C點,且y有最大值4.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線上是否存在點P,使△PBC是直角三角形?若存在,求出P點坐標;若不存在,說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,直線l經(jīng)過點A(4,0)和點B(0,4),且與二次函數(shù)y=ax2的圖象在第一象限內(nèi)相交于點P,若△AOP的面積為
9
2
,求二次函數(shù)的解析式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖已知拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)與x軸交于點A(1,0)和點B(-3,0),與y軸交于點C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點D的坐標為(-2,0).問:直線AC上是否存在點F,使得△ODF是等腰三角形?若存在,請直接寫出所有符合條件的點F的坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0)的圖象經(jīng)過點B(14,0)和C(0,-8),對稱軸為x=4.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)點D在線段AB上且AD=AC,若動點P從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個單位長度的速度勻速運動,同時另一動點Q以某一速度從C出發(fā)沿線段CB勻速運動,問是否存在某一時刻,使線段PQ被直線CD垂直平分?若存在,請求出此時的時間t(秒)和點Q的運動速度;若不存在,請說明理由;
(3)在(2)的結(jié)論下,直線x=1上是否存在點M使△MPQ為等腰三角形?若存在,請求出所有點M的坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知頂點為P的拋物線y=
1
2
x2+bx+c
經(jīng)過點A(-3,6),并x軸交于B(-1,0),C兩點.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)求四邊形ABPC的面S;
(3)試判斷四邊形ABPC的形狀,并說明理由.

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同步練習(xí)冊答案