Question

如圖，已知⊙A，⊙O₁，⊙O₂兩兩相切，且都與直線a相切，若⊙A的半徑為1，⊙O₁與⊙O₂的半徑分別為x，y（y≥1）．則y與x的函數(shù)關系式為

 

．

Answer 1

考點：相切兩圓的性質

專題：

分析：設直線a和圓A，圓O₂相切于B，C兩點，連接AB，O₂C，過A作AH⊥O₂C，過O₁作O1E⊥AB于E，并反向延長O₁E交O₂C于F，根據(jù)相切兩圓的性質：如果兩圓相切，那么連心線必經(jīng)過切點、切線的性質和勾股定理即可求出y與x的函數(shù)關系式．

解答：解：設直線a和圓A，圓O₂相切于B，C兩點，連接AB，O₂C，過A作AH⊥O₂C，過O₁作O1E⊥AB于E，并反向延長O₁E交O₂C于F，
∵⊙A的半徑為1，⊙O₁與⊙O₂的半徑分別為x，y（y≥1）．
∴AE=1-x，AO₁=1+x，
在Rt△AEO₁中，EO₁=

AO 1 2-AE

=2

x

，
同理可求得：FO₁=2

xy

，
∴AH=EO₁+O₁F=2

x

+2

xy

，
∵在Rt△AHO₂中，AO₂=1+y，O₂H=y-1，
∴AH=

AO 2 2-O 2H 2

=2

y

，
∴2

x

+2

xy

=2

y

，
∴

y

（1-

x

）=

x

，
∴y=

x

(1- x ) 2

=

x(1+ x )2

1-x

．
故答案為：y=

x(1+ x )2

1-x

．

點評：本題考查了相切兩圓的性質：如果兩圓相切，那么連心線必經(jīng)過切點和切線的性質以及勾股定理的運用，解題的關鍵是添加輔助線，構造直角三角形，利用勾股定理求出某些線段的長．