Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C（-3，0），點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，且滿(mǎn)足（OB-

3

）²+

OA-1

=0．
（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線CB運(yùn)動(dòng)，連接AP．設(shè)△ABP的面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍．
（3）在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方,非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根

專(zhuān)題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）根據(jù)條件（OB-

3

）²+

OA-1

=0，可求得OB=

3

，OA=1，根據(jù)圖象可知A（1，0），B（0，

3

）；
（2）在直角三角形中的勾股定理和動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和速度分別把相關(guān)的線段表示出來(lái)，設(shè)CP=t，過(guò)P作PQ⊥CA于Q，由△CPQ∽△CBO，易得PQ=

t

2

，S=S_△ABC-S_△APC=2

3

-t；
（3）由于∠ABP=∠AOB=90°，所以分兩種情況討論：①△ABP∽△AOB；②△ABP∽△BOA．可知滿(mǎn)足條件的有四個(gè)．

解答：解：（1）∵（OB-

3

）²+

OA-1

=0，
∴OB²-3=0，OA-1=0．
∴OB=

3

，OA=1，
點(diǎn)A，點(diǎn)B分別在x軸，y軸的正半軸上，
∴A（1，0），B（0，

3

）；

（2）由（1），得AC=4，
由關(guān)勾股定理得：
AB=

1 2+( 3 ) 2

=2，BC=

3 2+( 3 ) 2

=2

3

，
∴AB²+BC²=2²+（2

3

）²=16，
∵AC²=16，
∴AB²+BC²=AC²=16，
∴△ABC為直角三角形，∠ABC=90°．（4分）
設(shè)CP=t，過(guò)P作PQ⊥CA于Q，連接PA，
由△CPQ∽△CBO，
∴OB：BC=PQ：PC=1：2，
PQ=

t

2

，
∴當(dāng)點(diǎn)P在線段CB上時(shí)，S=S_△ABC-S_△APC=

1

2

×4×

3

-

1

2

×4×

t

2

=2

3

-t（0≤t＜2

3

），
當(dāng)點(diǎn)P在射線CB上時(shí)，S=S_△APC-S_△ABC=

1

2

×4×

t

2

-

1

2

×4×

3

=t-2

3

（t＞2

3

）；

（3）存在，滿(mǎn)足條件的有四個(gè)．
∵∠ABP=∠AOB=90°，
∴當(dāng)AB：OB=BP：OA或AB：OA=BP：OB時(shí)，相似，
∴P₁（-3，0），P₂（-1，

2

3

3

），P₃（3，2

3

），P₄（1，

4 3

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定，勾股定理和直角三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)．利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求算出線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵之一．要會(huì)熟練地運(yùn)用這些性質(zhì)解題．