Question

如圖，在直角△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)P，過P點(diǎn)作PF⊥AD交BC的延長線于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：
①∠APB=135°；②PF=PA；③AH+BD=AB；④S_△ACD：S_△ABD=AC：AB，
其中結(jié)論正確的序號(hào)是（　　）

• A、①③
• B、①②③④
• C、①②③
• D、②③

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)、角平分線定理以及三角形內(nèi)角和定理逐條分析判斷．

解答：解：在△ABC中，AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
又∵AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE=

1

2

（∠A+∠B）=45°，
∴∠APB=135°，故①正確．

易求∠BPD=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°，
∴∠APB=∠FPB，
在△ABP與△FBP中，

∠APB=∠FPB ∠ABP=∠FBP BP=BP

，
∴△ABP≌△FBP（AAS），
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，故②正確．

在△APH和△FPD中，

∠APH=∠FPD=90° ∠PAH=∠BFP PA=PF

，
∴△APH≌△FPD（AAS），
∴AH=FD，
又∵AB=FB，
∴AB=FD+BD=AH+BD．故③正確．
∵分別以AB、AC為底計(jì)算△ABD的面積與△ACD的面積，由于高相等（角平分線上任意一點(diǎn)到角的兩邊距離相等），
∴S_△ACD：S_△ABD=AC：AB．故④正確．
綜上所述，正確的結(jié)論是：①②③④．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．