Question

已知菱形ABCD的兩條對(duì)角線分別為6和8，M、N分別是邊BC、CD的中點(diǎn)，P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)．
（1）求菱形ABCD的面積．
（2）求PM+PN的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì),軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題

專(zhuān)題：

分析：（1）利用菱形ABCD的兩條對(duì)角線乘積的一半等于菱形面積求出即可；
（2）利用已知得出四邊形BQNC是平行四邊形，則NQ=BC，再利用菱形的性質(zhì)以及勾股定理得出MP+NP=QP+NP=QN的值．

解答：解：（1）∵菱形ABCD的兩條對(duì)角線分別為6和8，
∴菱形ABCD的面積為：

1

2

×6×8=24；

（2）作M關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時(shí)MP+NP的值最小，
連接AC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，
即Q在AB上，
∵M(jìn)Q⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M(jìn)為BC中點(diǎn)，
∴Q為AB中點(diǎn)，
∵N為CD中點(diǎn)，四邊形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ=CN，
∴四邊形BQNC是平行四邊形，
∴NQ=BC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CP=

1

2

AC=3，BP=

1

2

BD=4，
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，
即NQ=5，
∴MP+NP=QP+NP=QN=5，
∴PM+PN的最小值為：5．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，熟練根據(jù)菱形的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．