如圖1，在平面直角坐標系中，AB、CD都垂直于x軸，垂足分別為B、D，AD與BC相交于E點，已知：A（-2，-6），C（1，-3），一拋物線經(jīng)過A，E，C三點．
（1）求點E的坐標及此拋物線的表達式；
（2）如圖2，如果AB位置不變，將DC向右平移k（k＞0）個單位，求△AEC的面積S關(guān)于k的函數(shù)表達式；
（3）在第（2）問中，是否存在k的值，使AD⊥BC？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．
（1）由題意知B（-2，0）、D（1，0），
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，
將A（-2，-6）、D（1，0）的坐標代入，
解得k=2，b=-2，
∴直線BC的解析式為y=-x-2；
同理求得直線AD的解析式為y=2x-2，
解方程組
y=2x-2
y=-x-2
．
得點E的坐標為（0，-2），
（用其它方法求得點E的坐標可參考得分）
設(shè)經(jīng)過A，E，C三點的此拋物線表達式為y=ax2+bx+c，
則
4a-2b+c=-6
c=-2
a+b+c=-3
，
∴
a=-1
b=0
c=-2
，
∴y=-x2-2．

（2）由題意得D（k+1，0），C（k+1，-3），BD=k+3，
∵AB、CD都垂直于x軸，
∴△ABE∽△DCE，
且SABDC=
9
2
(k+3)，
作EF⊥AB于F，EG⊥CD于G，則
EF=
2
3
(k+3)，
EG=
1
3
(k+3)，
∴SABE+SCDE=
5
2
（k+3）
∴S=
1
2
(SABDC-SABE-SCDE)=k+3．

（3）由（2）知EF=
2
3
(k+3)，
∵△ABE∽△DCE，
∴
AE
ED
=
AB
DC
=
2
1
，
∵EF∥x軸，
∴
AF
FB
=
2
1
，
∴AF=4，BF=2，
當AD⊥BC時，由EF⊥AB得△BEF∽△AFE，
∴EF2=BF•AF=8，
∴EF=2
2
（負根舍去）
∴
2
3
(k+3)=2
2
，k=3
2
-3．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系中有一矩形ABCO（O為原點），點A、C分別在x軸、y軸上，且C點坐標為（0，6），將△BCD沿BD折疊（D點在OC上），使C點落在OA邊的E點上，并將△BAE沿BE折疊，恰好使點A落在BD邊的F點上．
（1）求BC的長，并求折痕BD所在直線的函數(shù)解析式；
（2）過點F作FG⊥x軸，垂足為G，F(xiàn)G的中點為H，若拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過B、H、D三點，求拋物線解析式；
（3）點P是矩形內(nèi)部的點，且點P在（2）中的拋物線上運動（不含B、D點），過點P作PN⊥BC，分別交BC和BD于點N、M，是否存在這樣的點P，使S△BNM=S△BPM？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知：m是非負數(shù)，拋物線y=x2-2（m+1）x-（m+3）的頂點Q在直線y=-2x-2上，且和x軸交于點A、B（點A在點B的左側(cè)）．
（1）求A、B、Q三點的坐標．
（2）如果點P的坐標為（1，1）．求證：PA和直線y=-2x-2垂直．
（3）點M（x，1）在拋物線上，判斷∠AMB和∠BAQ的大小關(guān)系，并說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，BC在x軸上，點D為BC的中點，點A在第一象限內(nèi)，AB與y軸的正半軸相交于點E，點B（-1，0），P是AC上的一個動點（P與點A、C不重合）
（1）求點A、E的坐標；
（2）若y=-
6
3
7
x2+bx+c過點A、E，求拋物線的解析式；
（3）連接PB、PD，設(shè)L為△PBD的周長，當L取最小值時，求點P的坐標及L的最小值，并判斷此時點P是否在（2）中所求的拋物線上，請充分說明你的判斷理由．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖1，Rt△ABC中，斜邊AB在x軸上，點C在y軸上，且OC=2，OA：OB=1：4，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C三點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若直線y=x+b與Rt△ABC相交，所截得的三角形面積是原Rt△ABC面積的
3
10
，求b的值；
（3）將△OAC繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△OEF，如圖2，再將△OEF繞平面內(nèi)某點旋轉(zhuǎn)180°后得△MNQ（點M、N、Q分別與點E、F、O對應(yīng)），使點M，N在拋物線上，求點M，N的坐標．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線y=
1
2
x2-mx+2m-
7
2
．
（1）試說明：無論m為何實數(shù)，該拋物線與x軸總有兩個不同的交點．
（2）如圖，當拋物線的對稱軸為直線x=3時，拋物線的頂點為點C，直線y=x-1與拋物線交于A、B兩點，并與它的對稱軸交于點D．
①拋物線上是否存在一點P使得四邊形ACPD是正方形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；
②平移直線CD，交直線AB于點M，交拋物線于點N，通過怎樣的平移能使得以C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，矩形ABCD的頂點A、D在拋物線y=-
2
3
x2+
8
3
x上，B、C在x軸的正半軸上，且矩形始終在拋物線與x軸圍成的區(qū)域里．
（1）設(shè)點A的橫坐標為x，試求矩形的周長P關(guān)于變量x的函數(shù)表達式；
（2）當點A運動到什么位置時，相應(yīng)矩形的周長最大？最大周長是多少？
（3）在上述這些矩形中是否存在這樣一個矩形，它的周長為7？若存在，求出該矩形的各頂點的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，拋物線y=ax2-5ax+4經(jīng)過△ABC的三個頂點，已知BC∥x軸，點A在x軸上，點C在y軸上，且AC=BC．
（1）求拋物線的對稱軸；
（2）寫出A，B，C三點的坐標并求拋物線的解析式；
（3）探究：若點P是拋物線對稱軸上且在x軸下方的動點，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點P坐標；不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=kx+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，與拋物線y=ax2+bx交于點C、D．已知點C的坐標為（2，1），點D的橫坐標為
1
2
．
（1）求點D的坐標；
（2）求拋物線的函數(shù)表達式；
（3）拋物線在x軸上方部分是否存在一點P，使△POA的面積比△POB的面積大4？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，說明理由．
（4）將題中的拋物線y=ax2+bx沿x軸平移，當拋物線經(jīng)過點B時，請直接寫出平移的方向和距離．

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