Question

（2013•河北）如圖，△OAB中，OA=OB=10，∠AOB=80°，以點O為圓心，6為半徑的優(yōu)弧

MN

分別交OA，OB于點M，N．
（1）點P在右半弧上（∠BOP是銳角），將OP繞點O逆時針旋轉80°得OP′．求證：AP=BP′；
（2）點T在左半弧上，若AT與弧相切，求點T到OA的距離；
（3）設點Q在優(yōu)弧

MN

上，當△AOQ的面積最大時，直接寫出∠BOQ的度數．

Answer 1

分析：（1）首先根據已知得出∠AOP=∠BOP′，進而得出△AOP≌△BOP′，即可得出答案；
（2）利用切線的性質得出∠ATO=90°，再利用勾股定理求出AT的長，進而得出TH的長即可得出答案；
（3）當OQ⊥OA時，△AOQ面積最大，且左右兩半弧上各存在一點分別求出即可．

解答：（1）證明：如圖1，∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80°+∠BOP，
∠BOP′=∠POP′+∠BOP=80°+∠BOP，
∴∠AOP=∠BOP′，
∵在△AOP和△BOP′中

OA=OB ∠AOP=∠BOP′ OP=OP′

∴△AOP≌△BOP′（SAS），
∴AP=BP′；

（2）解：如圖1，連接OT，過點T作TH⊥OA于點H，
∵AT與

MN

相切，
∴∠ATO=90°，
∴AT=

OA2-OT2

=

102-62

=8，
∵

1

2

×OA×TH=

1

2

×AT×OT，
即

1

2

×10×TH=

1

2

×8×6，
解得：TH=

24

5

，即點T到OA的距離為

24

5

；

（3）解：如圖2，當OQ⊥OA時，△AOQ的面積最大；
理由：∵OQ⊥OA，
∴QO是△AOQ中最長的高，則△AOQ的面積最大，
∴∠BOQ=∠AOQ+∠AOB=90°+80°=170°，
當Q點在優(yōu)弧

MN

右側上，
∵OQ⊥OA，
∴QO是△AOQ中最長的高，則△AOQ的面積最大，
∴∠BOQ=∠AOQ-∠AOB=90°-80°=10°，
綜上所述：當∠BOQ的度數為10°或170°時，△AOQ的面積最大．

點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及切線的判定與性質以及全等三角形的判定與性質等知識，根據數形結合進行分類討論得出是解題關鍵．