Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，點D是弧BC的中點，PD切⊙O于點D
（1）求證：DP⊥AP；
（2）若PD=

3

，PC=1，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π）

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),扇形面積的計算

專題：

分析：（1）連接BC、OD，則可判斷OD∥AP，再由切線的性質(zhì)可得∠OPD=90°，繼而得出結(jié)論；
（2）連接OC、CD，由題意可得∠PDC=30°，

解答：解：（1）連接BC、OD，則∠ACB=90°（圓周角定理），
∵點D是弧BC的中點，
∴OD⊥BC，
∴OD∥AP，
又∵PD是⊙O切線，
∴∠OPD=90°，
∴∠P=90°，
∴DP⊥AP．

（2）連接OC、CD，
∵PD=

3

，PC=1，
∴∠PDC=

PC

PD

=

3

3

，CD=

PC2+PD2

=2，
∴∠PDC=30°，
∴∠CDO=60°，
∵OC=OD，
∴△OCD是等邊三角形，
∴∠COD=∠DOB=∠AOC=60°，
∴△AOC是等邊三角形，
∴AO=OC=AC=OD=CD=2，
則S_陰影=S_梯形ODPA-S_△OCA-S_扇形OCD=

1

2

×（OD+AP）×PD-

3

-

60π×22

360

=

5 3

2

-

3

-

2

3

π=

3 3

2

-

2

3

π．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理、扇形的面積計算及等邊三角形的面積，綜合考察的知識點較多，注意培養(yǎng)自己解答綜合題的能力，將所學(xué)知識融會貫通．