Question

如圖，已知?ABCD的對角線交于O點，M為OD的中點，過M的直線分別交AD于CD于P、Q，與BA、BC的延長線于E、F

（1）如圖1，若EF∥AC，求證：PE+QF=2PQ；
（2）如圖2，若EF與AC不平行，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，加以證明；不成立，請說明理由．

Answer 1

（1）如圖1，∵M(jìn)P∥OA，DM=MO，
∴DP=PA．
在?ABCD中，∵AB∥CD，
∴∠EAP=∠QDP，∠AEP=∠DQP．
在△APE與△DPQ中，

∠EAP=∠QDP ∠AEP=∠DQP PA=PD

，
∴△APE≌△DPQ（AAS），
∴PE=PQ．
同理，QF=PQ，
∴PE+QF=2PQ；

（2）若EF與AC不平行，則（1）中的結(jié)論仍然成立．理由如下：
如圖2，過O點作ON∥AD交EF于N，則ON是梯形CFPA的中位線，則AP+CF=2ON．
易證△OMN≌△DMP，
∴ON=PD，
∴AP+CF=2PD．
∵CF∥PD，∴

QF

PQ

=

CF

PD

，
∵DQ∥AE，∴

PE

PQ

=

AP

PD

，
∴

QF

PQ

+

PE

PQ

=

CF

PD

+

AP

PD

，即

QF+PE

PQ

=

CF+AP

PD

=

2PD

PD

=2，
∴QF+PE=2PQ．