Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過原點(diǎn)O，點(diǎn)A（10，0）和點(diǎn)B（2，2），在線段OA上，點(diǎn)P從點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動，運(yùn)動過程中保持AQ=2OP，當(dāng)P、Q重合時(shí)同時(shí)停止運(yùn)動，過點(diǎn)Q作x軸的垂線，交直線AB于點(diǎn)M，延長QM到點(diǎn)D，使MD=MQ，以QD為對角線作正方形QCDE（正方形QCDE隨點(diǎn)Q運(yùn)動）．

（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)正方形QCDE的面積為S，P點(diǎn)坐標(biāo)（m，0）求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）過點(diǎn)P作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)N，延長PN到點(diǎn)G，使NG=PN，以PG為對角線作正方形PFGH（正方形PFGH隨點(diǎn)P運(yùn)動），當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)（2，0）時(shí)，如圖2，正方形PFGH的邊GF和正方形QCDE的邊EQ落在同一條直線上．

①則此時(shí)兩個(gè)正方形中在直線AB下方的陰影部分面積的和是多少？

②若點(diǎn)P繼續(xù)向點(diǎn)A運(yùn)動，還存在兩個(gè)正方形分別有邊落在同一條直線上的情況，請直接寫出每種情況下點(diǎn)P的坐標(biāo)，不必說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為；（2）；（3）①5；② P1（2.5，0），P2（9-，0），P3（，0）．

【解析】

（1）由拋物線過原點(diǎn)和點(diǎn)A（10，0）設(shè)其解析式為，代入點(diǎn)B的坐標(biāo)（2，2）解得a的值即可得到拋物線的解析式；

（2）由已知條件求出直線AB的解析式，由點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0）結(jié)合已知條件可得OQ=10-2m，由此即可用含m的式子表達(dá)出DQ的長度，這樣由四邊形ACDE是正方形即可由S=DQ2求出S與m之間的函數(shù)關(guān)系式了；

（3）①將x=2代入拋物線解析式得y=2，可知點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2，4），當(dāng)GF和EQ落在同一條直線上時(shí)，△FGQ為等腰直角三角形，則PQ=PG=4，OQ=OP+PQ=6，將x=6代入直線AB解析式可求得得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（6，1），即QM=1，由旋轉(zhuǎn)法可知，每一個(gè)陰影部分面積等所在正方形面積的一半，由此可求兩個(gè)陰影部分面積和；②分為PF、DE在同一直線上；PF、CQ在同一直線上；GF、CD在同一直線上三種情況分析計(jì)算求出相應(yīng)的P點(diǎn)的坐標(biāo)即可.

（1）∵拋物線過O（0，0），A（10，0），

∴設(shè)拋物線解析式為，

將B（2，2）代入，得，解得，

∴拋物線解析式為，

即 ：；

（2）設(shè)直線AB的解析式為：，將A（10，0），B（2，2）代入，得，解得，

∴，

∵P（m，0），

∴OP=m，AQ=2m，OQ=10-2m，

∴當(dāng)x=10-2m時(shí)，QM=，

∴QD=m，

∵四邊形QCDE是正方形，

∴；

（3）① ∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），

∴將x=2代入拋物線解析式：可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，2），

由正方形的性質(zhì)可得點(diǎn)G的坐標(biāo)為：（2，4），

∴PG=4，

又∵當(dāng)GF和EQ落在同一條直線上時(shí)，△PGQ為等腰直角三角形，

∴PQ=PG=4，OQ=OP+PQ=6，代入直線AB解析式 可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（6，1），即QM=1，QD=2，

∴陰影部分面積和=×（PG2+QD2）=5；

②若點(diǎn)P繼續(xù)向點(diǎn)A運(yùn)動，則當(dāng)兩個(gè)正方形分別有邊落在同一條直線上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)如下：

P1（2.5，0），P2（，0），P3（9-，0）．