Question

4．如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點A（-5，0），B（1，0），直線l：y=$\frac{3}{4}$x+3與y軸交于點C，與x軸交于點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P是x軸上方拋物線上對稱軸左側一動點，過點P分別作PE∥x軸交拋物線于點E，作PF⊥l交于點F，若PF=EP，求點P的坐標；
（3）如圖，拋物線頂點為G點，連接CG、DG，設拋物線對稱軸與直線CD、x軸的交點為N、Q，以AQ、NQ為邊作矩形AQNM．現(xiàn)將矩形AQNM沿直線GQ平移得到矩形A′Q′N′M′，設矩形A′Q′N′M′與△CDG的重疊部分面積為T，當3S_△N'CD=5S_△N'CO時，求T的值．

Answer 1

分析 （1）根據待定系數法求得即可；
（2）過點P作x軸的垂線交直線CD于點G，設P（m，-m²-4m+5），G（m，$\frac{3}{4}$m+3），得出PG=（-m²-4m+5）-（$\frac{3}{4}$m+3）=-m²-$\frac{19}{4}$m+2，根據對稱軸求得PE=-4-2m，根據平行線的性質得出∠PGF=∠OCD，通過解直角三角形得出sin∠OCD=$\frac{OD}{CD}$=$\frac{4}{5}$，得出sin∠PGF=$\frac{PF}{PG}$=$\frac{4}{5}$，根據PF=EP得出-4-2m=$\frac{4}{5}$（-m²-$\frac{19}{4}$m+2），解得m的值，即可求得P的坐標；
（3）由題意得${S_{△N'CO}}=\frac{1}{2}×CO×OQ=3$，${S_{△N'CD}}=\frac{1}{2}×NN'×OD=2NN'$，∵根據S_△N'CD=5S_△N'CO，得出6NN′=15，求得NN′=$\frac{5}{2}$，根據N的坐標即可得出N'（-2，4）或N'（-2，-1），然后分兩種情況討論即可求得．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點A（-5，0），B（1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-25-5b+c=0}\\{-1+b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式y(tǒng)=-x²-4x+5；
（2）如圖1，過點P作x軸的垂線交直線CD于點G，設P（m，-m²-4m+5），G（m，$\frac{3}{4}$m+3），
∵拋物線對稱軸x=$\frac{-5+1}{2}$=-2，故PE=-4-2m，
∵PG=（-m²-4m+5）-（$\frac{3}{4}$m+3）=-m²-$\frac{19}{4}$m+2，
∵直線l：y=$\frac{3}{4}$x+3與y軸交于點C，與x軸交于點D．
∴C（0，3），D（-4，0），
∴OC=3，OD=4，
∴CD=$\sqrt{O{C}^{2}+O{D}^{2}}$=5，
∴sin∠OCD=$\frac{OD}{CD}$=$\frac{4}{5}$，
∵PG∥OC，
∴∠PGF=∠OCD，
∵PF⊥l交于點F，
∴sin∠PGF=$\frac{PF}{PG}$=$\frac{4}{5}$，
∴$PF=\frac{4}{5}PG=\frac{4}{5}（-{m^2}-\frac{19}{4}m+2）$，
∵PE=PF，
∴-4-2m=$\frac{4}{5}$（-m²-$\frac{19}{4}$m+2），解得m₁=-4，m₂=$\frac{7}{4}$（舍去），
∴P（-4，5）；
（3）由題意得${S_{△N'CO}}=\frac{1}{2}×CO×OQ=3$，${S_{△N'CD}}=\frac{1}{2}×NN'×OD=2NN'$，
把x=-2代入y=$\frac{3}{4}$x+3得，y=$\frac{3}{2}$，
∴N（-2，$\frac{3}{2}$），
∵3S_△N'CD=5S_△N'CO，
∴6NN′=15，
∴NN′=$\frac{5}{2}$，
∴N'（-2，4）或N'（-2，-1），
當N'（-2，4）時，
∵y=-x²-4x+5=-（x+2）²+9，
∴拋物線頂點G（-2，9），
∴GN′=9-4=5，
∵D（-4，0），Q（-2，0），
∴DQ=2，
∵M′N′∥OA，
∴$\frac{HN′}{DQ}$=$\frac{GN′}{GQ}$，即$\frac{HN′}{2}$=$\frac{5}{9}$，
∴HN′=$\frac{10}{9}$，
同理，SQ′=$\frac{13}{9}$，
∴T=（$\frac{10}{9}$+$\frac{13}{9}$）×$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{23}{12}$；
當N'（-2，-1）時，T=0．

點評 本題是二次函數的綜合題，考查了待定系數法求二次函數的解析式，一次函數圖象上點的坐標特征，直角三角函數，平移的性質，平行線分線段成比例定理以及梯形的面積等，（2）求得sin∠PGF=$\frac{PF}{PG}$=$\frac{4}{5}$是解題的關鍵．