Question

12．如圖，△ABC和△CDE都是等邊三角形，A、C、D在同一直線上，連接AE，BD．交點(diǎn)為F，連接CF，求證：CF平分∠AFD．

Answer 1

分析 作CM⊥AE、CN⊥BD，由△ABC和△CDE都是等邊三角形知AC=BC、CD=CE、∠ACB=∠BCD，得△ACE≌△BCD，由全等三角形性質(zhì)知CM=CN，即可得證．

解答 證明：作CM⊥AE，垂足為點(diǎn)M，作CN⊥BD，垂足為點(diǎn)N，

∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，
∴∠ACB=∠ECD=60°，AC=BC，CD=CE，
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE，即∠ACB=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∵CM⊥AE，CN⊥BD，
∴CM=CN，
故點(diǎn)C在∠AFD的角平分線上，即CF平分∠AFD．

點(diǎn)評 本題主要考查全等三角形判定和性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，作對應(yīng)邊的高通過證明全等得出相等，為角平分線性質(zhì)創(chuàng)造條件是關(guān)鍵．