Question

16．△ABC中，D是BC上一點，P是AD上一點，若∠1=∠2，PB=PC．求證：AD⊥BC．

Answer 1

分析 作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，由角平分線的性質(zhì)得出PM=PN，由HL證明Rt△BPM≌Rt△CPN，得出對應(yīng)角相等∠PBM=∠PCN，再由等腰三角形的性質(zhì)得出∠PBC=∠PCB，證出∠ABC=∠ACB，得出AB=AC，由等腰三角形的三線合一性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 證明：作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，如圖所示：
∵∠1=∠2，
∴PM=PN，
在Rt△BPM和Rt△CPN中，$\left\{\begin{array}{l}{PB=PC}\\{PM=PN}\end{array}\right.$，
∴Rt△BPM≌Rt△CPN（HL），
∴∠PBM=∠PCN，
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵∠1=∠2，
∴AD⊥BC．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)；通過作輔助線證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．