Question

在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），B點(diǎn)的坐標(biāo)是（-3，0），點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合）．
（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)A、B分別作OP的垂線段，E、F分別為垂足，求證△AEO≌△OFB，并探究BF，AE，EF這三條線段之間的大小關(guān)系：
（2）如圖2，直線BD∥y軸，過(guò)點(diǎn)P作OP的垂線交BD于C點(diǎn)，求證：OP=PC；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C也隨之在直線BD上移動(dòng)，在（2）的情況下，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫出示意圖，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),等腰三角形的判定

專題：計(jì)算題

分析：（1）由A與B的坐標(biāo)得到OA=OB=3，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，利用AAS得到△AEO≌△OFB，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到BF=OE，OF=AE，由OE=EF+OF，等量代換即可得證；
（2）過(guò)P作PM⊥BD，延長(zhǎng)MP與y軸交于點(diǎn)N，可得PN⊥y軸，由題意得到三角形BPM為等腰直角三角形，即PM=BM，由BM=ON等量代換得到PM=ON，由同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，利用AAS得到△PCM≌△OPN，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；
（3）如圖所示，過(guò)P作PQ垂直于y軸，由BP=BC，且三角形AOB為等腰直角三角形，得到∠BPC=22.5°，進(jìn)而求出∠APO=∠AOP=67.5°，利用等角對(duì)等邊得到AP=OA=3，在等腰直角三角形APQ中，由AP長(zhǎng)求出PQ與AQ長(zhǎng)，由OA-AQ求出OQ長(zhǎng)，即可確定出P坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵A（0，3），B（-3，0），
∴OA=OB=3，
∵∠AOE+∠BOF=90°，∠BOF+∠OBF=90°，
∴∠AOE=∠OBF，
在△AOE和△BOF中，

∠AEO=∠BFO=90° ∠AOE=∠OBF OA=OB

，
∴△AOE≌△BOF（AAS），
∴BF=OE，OF=AE，
∴BF=OE=EF+OF=EF+AE；
（2）過(guò)P作PM⊥BD，延長(zhǎng)MP與y軸交于點(diǎn)N，可得PN⊥y軸，
∵△AOB為等腰直角三角形，
∴∠ABO=45°，
∴∠MBP=∠MBO-∠ABO=45°，
∴△BPM為等腰直角是三角形，
∴MP=MB，
∵M(jìn)B=ON，
∴MP=NO，
∵∠CPM+∠OPN=90°，∠CPM+∠PCM=90°，
∴∠OPN=∠PCM，
在△PCM和△OPN中，

∠PCM=∠OPN ∠PMC=∠ONP=90° PM=ON

，
∴△PCM≌△OPN（AAS），
∴OP=PC；
（3）如備用圖所示，過(guò)P作PQ⊥y軸，
∵△BCP為等腰三角形，△AOB為等腰直角三角形，
∴BP=BC，∠ABO=∠BAO=45°，
∴∠BCP=∠BPC=22.5°，
∴∠APO=67.5°，
∴∠AOP=67.5°，
∴AP=AO=3，
在等腰Rt△APQ中，PQ=AQ=

3 2

2

，
∴OQ=OA-AQ=3-

3 2

2

，
則P（-

3 2

2

，3-

3 2

2

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．