Question

如圖，⊙O的直徑AB與弦CD（不是直徑）相交于點(diǎn)E，且CE=DE，過點(diǎn)B作CD的平行線交AD延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：BF是⊙O的切線；
（2）連接BC，若⊙O的半徑為4，sin∠BCD=

3

4

，求CD的長？

Answer 1

分析：（1）由AB是⊙O的直徑，CE=DE，得∠AED=90°，再由CD∥BF，得∠ABF=∠AED=90°，從而得出BF是⊙O的切線；
（2）連接BD，因?yàn)锳B是⊙O的切線，則∠ADB=90°，再由sin∠BCD=

3

4

，求得AD，根據(jù)三角形的面積得DE的長，從而得出CD．

解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，CE=DE，
∴AB⊥CD（垂徑定理），
∴∠AED=90°，
∵CD∥BF，
∴∠ABF=∠AED=90°，
∴BF是⊙O的切線；

（2）解：連接BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴BD=AB•sin∠BAD=AB•sin∠BCD=8×

3

4

=6，
∴AD=

AB2-BD2

=2

7

，
∵S_△ABD=

1

2

AB•DE=

1

2

AD•BD，
∴DE=

AD•BD

AB

=

3  7

2

，
∴CD=2DE=3

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理、圓周角定理以及解直角三角形，是一道綜合題，難度不大．