Question

如圖所示，P是⊙O外一點，PA，PB分別和⊙O切于A，B兩點，C是上任意一點，過C作⊙O的切線分別交PA，PB于D，E．(1)若△PDE的周長為10，則PA的長為___  __，(2)連結(jié)CA、CB，若∠P=50°，則∠BCA的度數(shù)為___ __度.

Answer 1

5，115

（1）由于PA、PB、DE都是⊙O的切線，可根據(jù)切線長定理將△PDE的周長轉(zhuǎn)化為切線PA、PB的長．
（2）根據(jù)切線長定理即可證得△PEF 周長等于2PA即可求解；根據(jù)切線的性質(zhì)以及四邊形的內(nèi)角和定理即可求得∠AOB的度數(shù)，然后根據(jù)∠EOF=∠AOB即可求出∠BCA的度數(shù)．
解：（1）∵PA、PB、DE分別切⊙O于A、B、C，

∴PA=PB，DA=DC，EC=EB；
∴C_△PDE=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=10；
∴PA=PB=5；
（2）連接OA、OB、AC、BC，在⊙O上取一點F，連接AF、BF，
∵PA、PB分別切⊙O 于A、B；
∴∠PAO=∠PRO=90°
∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°；
∴∠AFB=∠AOB=65°，
∵∠AFB+∠BCA=180°
∴∠BCA=180°-65°=115°；
故答案是：5，115°．