Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，□ABCO的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A （2，0）、C （-1，2），反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．
（1）求k的值．
（2）將?ABCO沿x軸翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處．判斷點(diǎn)C′是否落在反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）的圖象上，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．
（3）在y軸上找出一點(diǎn)M，當(dāng)線段AM與線段CM之差達(dá)到最大時(shí)，求符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題,線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短,全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì),關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

專題：綜合題

分析：（1）設(shè)BC與y軸的交點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，如圖1，易證△CFO≌△AEB，從而可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法就可解決問(wèn)題；
（2）根據(jù)條件可得到點(diǎn)C′坐標(biāo)，然后代入反比例函數(shù)的解析式進(jìn)行驗(yàn)證，就可解決問(wèn)題；
（3）易得MC=MB，從而將MA-MC轉(zhuǎn)化為MA-MB，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)M、B、A三點(diǎn)共線時(shí)，MA-MB（即MA-MC）最大，然后只需用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，進(jìn)而求出直線AB與y軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)BC與y軸的交點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，如圖1．
∵?ABCO的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A（2，0）、C（-1，2），
∴CF=1，OF=2，OA=2，OC=BA，∠C=∠EAB，∠CFO=∠AEB=90°．
在△CFO和△AEB中，

∠C=∠EAB ∠CFO=∠AEB OC=BA

，
∴△CFO≌△AEB，
∴CF=AE=1，OF=BE=1，
∴OE=OA-AE=2-1=1，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2）．
∵反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，
∴k=1×2=2，
即k的值為2；

（2）點(diǎn)C′在反比例函數(shù)y=

2

x

的圖象上．
理由：∵點(diǎn)C與點(diǎn)C′關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，2），
∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（-1，-2）．
∵當(dāng)x=-1時(shí)，y=

2

x

=

2

-1

=-2，
∴點(diǎn)C′（-1，-2）在反比例函數(shù)y=

2

x

的圖象上；

（3）∵點(diǎn)C（-1，2），點(diǎn)B（1，2），
∴點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴MC=MB，
∴MA-MC=MA-MB．
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：MA≤MB+AB，即MA-MB≤AB，
當(dāng)M、B、A三點(diǎn)共線時(shí)，MA-MB（即MA-MC）最大，如圖2．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
則有

k+b=2 2k+b=0

，
解得：

k=-2 b=4

，
∴y=-2x+4．
當(dāng)x=0時(shí)，y=4，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、關(guān)于x軸（或y軸）對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，把MA-MC轉(zhuǎn)化為MA-MB并利用兩點(diǎn)之間線段最短是解決本題的關(guān)鍵．