Question

如圖，已知△ABO中，點B在x軸上，∠ABO=90°，點A（1，

3

），把△ABO繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到△ACD的位置，使點O的對應(yīng)點D在x軸上，拋物線以點A為頂點且經(jīng)過點C．
（1）求旋轉(zhuǎn)角∠OAD的度數(shù)，并求點C的坐標(biāo)；
（2）求出拋物線的解析式；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使PC+PD的值最��？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)點A的坐標(biāo)求出∠AOB=60°，然后判斷出△AOD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠OAD=60°，作CE⊥x軸于點E，求出∠CDE=60°，然后求出CE、DE，再求出OE，從而得到點C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)頂點式解析式y(tǒng)=a（x-1）²+

3

，然后把點C的坐標(biāo)代入求出a的值，即可得解；
（3）根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，直線OC與AB的交點即為所求的點P，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線OC的解析式，再求解即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意，可知AB=

3

，OB=1，
∵∠ABO=90°，
∴cos∠AOB=

AB

OB

=

3

1

=

3

，
∴∠AOB=60°，
∵AO=AD，
∴△AOB為等邊三角形，
∴∠OAD=60°，
作CE⊥x軸于點E，
∵∠ADO=∠ADC=60°，
∴∠CDE=60°，
在Rt△CDE中，CE=DC•sin∠CDE=1•sin60°=

3

2

，
DE=CD•cos∠CDE=1•cos60°=

1

2

，
∴OE=2+

1

2

=

5

2

，
∴C（

5

2

，

3

2

）；

（2）由題意設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²+

3

，把點C坐標(biāo)代入，得
a（

5

2

-1）²+

3

=

3

2

，
解得，a=-

2 3

9

，
∴y=-

2 3

9

（x-1）²+

3

，
即y=-

2 3

9

x²+

4 3

9

x+

7 3

9

；

（3）存在．
拋物線y=-

2 3

9

（x-1）²+

3

的對稱軸為直線x=1，
由（1）知△AOD是等邊三角形，
∴BD=OB=1，
∴D（2，0），
∴點O與點D關(guān)于直線x=1對稱，
設(shè)直線OC的解析式為y=kx，
把C（

5

2

，

3

2

）代入y=kx中，得

5

2

k=

3

2

，
∴k=

3

5

，
∴y=

3

5

x，
當(dāng)x=1時，y=

3

5

×1=

3

5

，
∴點P（1，

3

5

）．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱確定最短路線問題，難點在于（3）確定出點P的位置．