Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BD平分∠ABC．
（1）求證：DC=BC；
（2）E是梯形內(nèi)一點(diǎn)，F(xiàn)是梯形外一點(diǎn)，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，試判斷△ECF的形狀，并證明你的結(jié)論；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)BE：CE=1：2，∠BEC=135°時(shí)，求

BE

BF

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠ABD=∠CBD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ABD=∠BDC，然后求出∠CBD=∠BDC，再根據(jù)等角對等邊證明即可；
（2）利用“邊角邊”證明△DEC和△BFC全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CE=CF，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ECD=∠BCF，再求出∠ECF=90°，然后判斷△ECF是等腰直角三角形；
（3）根據(jù)比例設(shè)BE=k，CE=2k，根據(jù)等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的

2

倍表示出EF，再求出∠BEF=90°，然后利用勾股定理列式求出BF，然后計(jì)算即可得解．

解答：（1）證明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∴∠CBD=∠BDC，
∴DC=BC；

（2）解：等腰直角三角形．
理由如下：在△DEC和△BFC中，

DE=BF ∠EDC=∠FBC DC=BC

，
∴△DEC≌△BFC（SAS），
∴CE=CF，∠ECD=∠BCF，
∴∠ECF=∠BCF+∠BCE=∠ECD+∠BCE=∠BCD=90°，
即△ECF是等腰直角三角形；

（3）∵BE：CE=1：2，
∴設(shè)BE=k，CE=2k，
則EF=

2

CE=2

2

k，
∵∠BEC=135°，∠CEF=45°，
∴∠BEF=135°-45°=90°，
∴BF=

k2+(2 2 k)2

=3k，
∴

BE

BF

=

k

3k

=

1

3

．

點(diǎn)評：本題考查了梯形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，（3）比例問題通常利用“設(shè)k法”求解更加簡單．