Question

如圖1，已知拋物線(xiàn)y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過(guò)A（3，0）、B（4，4）、D(2, n)三點(diǎn)．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式及點(diǎn)D坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)M是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，求使BM－AM的值最大時(shí)的點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）如圖2，將射線(xiàn)BA沿BO翻折，交y軸于點(diǎn)C，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

(4)在（3）的條件下，連結(jié)ON,OD，如圖2，請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足△POD∽△NOB的點(diǎn)P坐標(biāo)（點(diǎn)P、O、D分別與點(diǎn)N、O、B對(duì)應(yīng)）．

 

Answer 1

解：（1）∵拋物線(xiàn)y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過(guò)A（3，0）、B（4，4）

∴拋物線(xiàn)的解析式是y=x²﹣3x．

∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，﹣2）．    （2）設(shè)直線(xiàn)AB解析式為：y=kx+m,     將 A（3，0）、B（4，4）代人解得

直線(xiàn)AB解析式為：y=4x-12,  拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為x=

當(dāng)x=時(shí)，y=-6,  ∴當(dāng)點(diǎn)M（，-6）時(shí)，BM-AM的值最大。∵直線(xiàn)OB的解析式為y=x，且A（3，0），

根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)得出∠CBO=∠ABO，∠COB=∠AOB，OB=OB, ∴⊿AOB≌⊿COB,

∴OC=OA,  ∴點(diǎn)C（0，3） 

設(shè)直線(xiàn)CB的解析式為y=kx+3，過(guò)點(diǎn)（4，4），

∴直線(xiàn)CB的解析式是y=，

∵點(diǎn)N在直線(xiàn)CB上，

∴設(shè)點(diǎn)N（n，），又點(diǎn)N在拋物線(xiàn)y=x²﹣3x上，

∴=n²﹣3n，解得：n₁=﹣，n₂=4（不合題意，舍去）∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，）．

（4）方法一：如圖1，將△NOB沿x軸翻折，得到△N₁OB₁，則N₁（，），

B₁（4，﹣4），∴O、D、B₁都在直線(xiàn)y=﹣x上．

∵△P₁OD∽△NOB，△NOB≌△N₁OB₁，

∴△P₁OD∽△N₁OB₁，∴，  ∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（，）．將△OP₁D沿直線(xiàn)y=﹣x翻折，可得另一個(gè)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P₂（，），

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，）或（，）

方法二：如圖2，將△NOB繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△N₂OB₂，

則N₂（，），B₂（4，﹣4），∴O、D、B₁都在直線(xiàn)y=﹣x上．

∵△P₁OD∽△NOB，△NOB≌△N₂OB₂，∴△P₁OD∽△N₂OB₂，

∴，∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（，）．

將△OP₁D沿直線(xiàn)y=﹣x翻折，可得另一個(gè)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P₂（，），

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，）或（，）．