Question

（2014•深圳）已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，

（1）證明四邊形ABDF是平行四邊形；

（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的長．

Answer 1

（1）證明：∵BD垂直平分AC，∴AB=BC，AD=DC，

在△ADB與△CDB中，，∴△ADB≌△CDB（SSS）∴∠BCD=∠BAD，

∵∠BCD=∠ADF，∴∠BAD=∠ADF，∴AB∥FD，

∵BD⊥AC，AF⊥AC，∴AF∥BD，∴四邊形ABDF是平行四邊形，

（2）【解析】
∵四邊形ABDF是平行四邊形，AF=DF=5，∴?ABDF是菱形，∴AB=BD=5，

∵AD=6，設(shè)BE=x，則DE=5﹣x，

∴AB2﹣BE2=AD2﹣DE2，即52﹣x2=62﹣（5﹣x）2

解得：x=，

∴=，

∴AC=2AE=．

【解析】

試題分析：（1）先證得△ADB≌△CDB求得∠BCD=∠BAD，從而得到∠ADF=∠BAD，所以AB∥FD，因為BD⊥AC，AF⊥AC，所以AF∥BD，即可證得．（2）先證得平行四邊形是菱形，然后根據(jù)勾股定理即可求得．

考點：平行四邊形的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理．