Question

已知AB為半圓O的直徑，點(diǎn)P為直徑AB上的任意一點(diǎn)．以點(diǎn)A為圓心，AP為半徑作⊙A，⊙A與半圓O相交于點(diǎn)C；以點(diǎn)B為圓心，BP為半徑作⊙B，⊙B與半圓O相交于點(diǎn)D，且線段CD的中點(diǎn)為M．求證：MP分別與⊙A和⊙B相切．

Answer 1

證明：如圖，連接AC，AD，BC，BD，并且分別過點(diǎn)C，D作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)
∴CE∥DF，∠AEC=90°，∠BFD=90°．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°．
又∵∠CAB是△ACB和△AEC的公共角，
∴△ACB∽△AEC，
∴AC：AB=AE：AC
即PA²=AC²=AE•AB，
同理PB²=BD²=BF•AB．
兩式相減可得PA²-PB²=AB（AE-BF），
∴PA²-PB²=（PA+PB）（PA-PB）=AB（PA-PB），
∴AE-BF=PA-PB，即PA-AE=PB-BF，
∴PE=PF，
∴點(diǎn)P是線段EF的中點(diǎn)．
∵M(jìn)是CD的中點(diǎn)，
∴MP是直角梯形CDEF的中位線，
∴MP⊥AB，
∴MP分別與⊙A和⊙B相切．