Question

如圖，矩形OABC的邊OA在x軸上，OC邊在y軸上，OA=8，OC=6，過點C與對角線OB垂直的直線l，交x軸于P，
（1）求直線l的解析式及P點的坐標(biāo)；
（2）若點P沿x軸的正方向以1單位/s的速度移動，直線l也隨之移動，且l∥OB，設(shè)直線分矩形部分面積為y，求y與P點移動時間x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若點P在（2）的情況下移動的同時，直線l上有一點M，從P點出發(fā)以1單位/s的速度沿直線l向上移動，求以M為圓心，半徑為1的圓與矩形四條邊所在直線相切的時間x的值．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：探究型

分析：（1）首先求得OB的解析式，根據(jù)直線l與OB垂直，即可求得直線l的解析式的一次項系數(shù)，再根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線l的解析式，求得P的坐標(biāo)；
（2）分當(dāng)P在A或A的左邊時，即0≤x≤

7

2

或當(dāng)

7

2

＜x≤8以及x＞8三種情況進行討論，分別利用直角梯形的面積公式，以及直角三角形的面積公式即可求得函數(shù)解析式；
（3）首先利用時間x表示出M的坐標(biāo)，然后根據(jù)圓與直線相交的條件：圓心到直線的距離等于圓的半徑，分情況進行討論，即可求得x的值．

解答：解：（1）B的坐標(biāo)是（8，6），
設(shè)直線L的解析式是y=kx，則6=8k，解得：k=

3

4

，
則直線OB的解析式是y=

3

4

x，
則直線l的一次項系數(shù)是：-

4

3

，設(shè)直線l的解析式是y=-

4

3

x+b，
把C的坐標(biāo)（0，6）代入解析式得：6=b，
則l的解析式是：y=-

4

3

x+6，設(shè)y=0，解得：x=

9

2

，則P的坐標(biāo)是（

9

2

，0）；
（2）當(dāng)P在A或A的左邊時，即0≤x≤

7

2

時：
點P沿x軸的正方向以1單位/s的速度移動，x秒后到F點，則FA=8-

9

2

-x=

7-2x

2

，設(shè)直線l與BC的交點是E，則BN=8-x，四邊形ABEP是直角梯形，
則y=

1

2

（AF+BE）•AB=

1

2

（

7-2x

2

+8-x）×6=-6x+

69

2

；

當(dāng)

7

2

＜x≤8時，設(shè)直線l與AB交于點M，與BC交于點N．交x軸與Q．
則AQ=x-

7

2

，
△OPC∽△AQM，
則

OC

AM

=

OP

AQ

，則AM=

2(2x-7)

3

，BM=6-

2(2x-7)

3

=

32-4x

3

，
BN=x，
則y=

1

2

BN•BM=

1

2

x×

32-4x

3

=

16-2x

3

．

當(dāng)x＞8是，直線l與矩形不相交．

（3）在直角△OPC中，PC=

OC2+OP2

=

15

2

，
設(shè)M點運動x秒，則M的橫坐標(biāo)是：

9

2

+x，
M的縱坐標(biāo)是：

4

5

x，則M的坐標(biāo)是：（

9

2

+x，

4

5

x），
當(dāng)圓與OA相切時：

4

5

x=1，解得：x=

5

4

；
當(dāng)圓與OC相切時，

9

2

+x=1，解得：x=-

7

2

，（舍去）；
當(dāng)圓與AB相切時：8-（

9

2

+x）=1或（

9

2

+x）-8=1，解得：x=

5

2

或

9

2

；
當(dāng)圓與BC相切時，6-

4

5

x=1或

4

5

x-6=1，解得：x=

25

4

或

35

4

．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，直線與圓的位置關(guān)系，正確求得M的坐標(biāo)是關(guān)鍵．