Question

11．如圖，二次函數(shù)y=x²+4x+c圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，M為不同于A，B，C的拋物線上的點(diǎn)．
（1）當(dāng)M坐標(biāo)為（-2，-1）時，求c的值；
（2）當(dāng)M為頂點(diǎn)，且MA⊥MB時，求二次函數(shù)y=x²+4x+c的解析式；
（3）在（2）的條件下，E為線段AC上的點(diǎn)，過E作y的平行線交拋物線于F，△ACF面積是否存在最大值，若存在求出最大值，不存在說明理由．

Answer 1

分析 （1）把M點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求得c；
（2）把拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，則可用c表示出M點(diǎn)的坐標(biāo)，由條件可用c表示出B點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得c的值，則可求得拋物線解析式；
（3）可設(shè)出F點(diǎn)坐標(biāo)，則可表示出E點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出EF的長，進(jìn)一步表示出△ACF的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值．

解答 解：
（1）∵M(jìn)為不同于A，B，C的拋物線上的點(diǎn)，
∴-1=4-8+c，解得c=3；
（2）∵y=x²+4x+c=（x+2）²+c-4，
∴M（-2，c-4），
如圖1，設(shè)拋物線對稱軸交x軸于點(diǎn)D，則D（-2，0），

∵M(jìn)A⊥MB，且D為中點(diǎn)，
∴BD=MD=4-c，
∴OB=OD-BD=2-（4-c）=-2+c，
∴B（2-c，0），
∵B點(diǎn)在拋物線上，
∴（2-c）²+4（2-c）+c=0，解得c=3或c=4，
當(dāng)c=4時，M點(diǎn)在x軸上，不符合題意，舍去，
∴c=3，
∴拋物線解析式為y=x²+4x+3；
（3）由（2）可知拋物線解析式為y=x²+4x+3，
令x=0可得y=3，令y=0可得x²+4x+3=0，解得x=-1或x=-3，
∴A（-3，0），C（0，3），
∴直線AC解析式為y=x+3，
設(shè)F（t，t²+4t+3），則E（t，t+3），如圖2，

∵E為線段AC上的點(diǎn)，
∴EF=t+3-（t²+4t+3）=-t²-3t，
∴S_△AFC=$\frac{1}{2}$EF•OA=$\frac{1}{2}$×3（-t²-3t）=-$\frac{3}{2}$t²-$\frac{9}{2}$t=-$\frac{3}{2}$（t+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴當(dāng)t=-$\frac{3}{2}$時，S_△AFC有最大值，最大值為$\frac{27}{8}$．

點(diǎn)評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形的面積及方程思想的應(yīng)用等知識．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用步驟，在（2）中用c表示出B點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（3）中用F點(diǎn)的坐標(biāo)表示出△AFC的面積是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．