已知拋物線y=
3
3
x2-
4
3
3
x+
3
與y軸交于點A，與x軸交于B、C兩點（C在B的左邊）．
（1）過A、O、B三點作⊙M，求⊙M的半徑；
（2）點P為弧OAB上的動點，當點P運動到何位置時△OPB的面積最大？求出此時點P的坐標及△OPB的最大面積．
（1）∵拋物線y=
3
3
x2-
4
3
3
x+
3
與y軸交于點A，與x軸交于B、C兩點（C在B的左邊），
∴y=0時，0=
3
3
x2-
4
3
3
x+
3
，
整理得出：x2-4x+3=0，
解得：x1=1，x2=3，
當x=0，則y=
3
，
由題意可得：A（0，
3
），B（3，0），C（1，0），
∴OA=
3
，OB=3，
連接AB，∵∠AOB=90°，
∴AB為⊙M的直徑，
∴AB=2
3
，
∴⊙M的半徑為
3
；

（2）在△AOB中，∵OA=
3
，OB=3，∠AOB=90°，
∴tan∠OAB=
3
3
=
3
，
∴∠OAB=60°，
∵點P為弧OAB上的動點，
∴∠OPB=60°，
∵OB=3是定值，要使△OPB面積最大，只要使OB邊上的高最大，
即點P到OB邊的距離最大，
∴點P為為弧OAB的中點，此時為△OPB為等邊三角形，
且邊長為3，
過點P作PT⊥OB于點T，
根據(jù)題意得出：OT=
3
2
，PT=
3
3
2
，
∴P（
3
2
，
3
3
2
），△OPB的最大面積為：
1
2
×3×
3
3
2
=
9
3
4
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線y=-x2+mx+n經(jīng)過點A（1，0），B（6，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線與y軸交于點D，求△ABD的面積；
（3）當y＜0，直接寫出自變量x的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形ABCD的邊AB在x軸上，且AB=3，BC=2
3
，直線y=
3
x-2
3
經(jīng)過點C，交y軸于點G．
（1）點C、D的坐標分別是C______，D______；
（2）求頂點在直線y=
3
x-2
3
上且經(jīng)過點C、D的拋物線的解析式；
（3）將（2）中的拋物線沿直線y=
3
x-2
3
平移，平移后的拋物線交y軸于點F，頂點為點E（頂點在y軸右側）．平移后是否存在這樣的拋物線，使△EFG為等腰三角形？若存在，請求出此時拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知二次函數(shù)y=-
1
2
x2+bx+c的圖象經(jīng)過A（2，0），B（0，-6）兩點．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）設該二次函數(shù)圖象的對稱軸與x軸交于點C，連接BA、BC，求△ABC的面積和周長．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，在平面直角坐標系中，矩形ABOC的邊BO在x軸的負半軸上，邊OC在y軸的正半軸上，且AB=1，OB=
3
，矩形ABOC繞點O按順時針方向旋轉60°后得到矩形EFOD．點A的對應點為點E，點B的對應點為點F，點C的對應點為點D，拋物線y=ax2+bx+c過點A，E，D．
（1）判斷點E是否在y軸上，并說明理由；
（2）求拋物線的函數(shù)表達式；
（3）在x軸的上方是否存在點P，點Q，使以點O，B，P，Q為頂點的平行四邊形的面積是矩形ABOC面積的2倍，且點P在拋物線上？若存在，請求出點P，點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）的圖象經(jīng)過點C（0，1），且與x軸交于不同的兩點A、B，若點A的坐標是（1，0），點B在點A的右側．
（1）c=______；
（2）求a的取值范圍；
（3）若過點C且平行于x軸的直線交該拋物線于另一點D，AD、BC交于點P，記△PCD的面積為S1，△PAB的面積為S2，求S1-S2的值．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系中，已知四邊形ABCD是等腰梯形，A、B在x軸上，D在y軸上，AB∥CD，AD=BC=
17
，AB=5，CD=3，拋物線y=-x2+bx+c過A、B兩點．
（1）求b、c；
（2）設M是x軸上方拋物線上的一動點，它到x軸與y軸的距離之和為d，求d的最大值；
（3）當（2）中M點運動到使d取最大值時，此時記點M為N，設線段AC與y軸交于點E，F(xiàn)為線段EC上一動點，求F到N點與到y(tǒng)軸的距離之和的最小值，并求此時F點的坐標．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

蔬菜基地種植某種蔬菜，由市場行情分析可知，1月份到6月份這種蔬菜的市場售價p（元/千克）與上市時間x（月份）的關系為p=-1.5x+12，這種蔬菜每千克的種植成本y（元/千克）與上市時間x（月份）滿足一個函數(shù)關系，這個函數(shù)的圖象是拋物線一部分，如圖所示．
（1）若圖中拋物線經(jīng)過A、B兩點，對稱軸是直線x=6，寫出它對應的函數(shù)關系式；
（2）由以上信息分析，哪個月上市出售這種蔬菜每千克的收益最大？最大值是多少？
（收益=市場售價-種植成本）

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

隨著海峽兩岸交流日益增強，通過“零關稅”進入我市的一種臺灣水果，其進貨成本是每噸0.5萬元，這種水果市場上的銷售量y（噸）是每噸的銷售價x（萬元）的一次函數(shù)，且x=0.6時，y=2.4；x=1時，y=2．
（1）求出銷售量y（噸）與每噸的銷售價x（萬元）之間的函數(shù)關系式；
（2）若銷售利潤為w（萬元），請寫出w與x之間的函數(shù)關系式，并求出銷售價為每噸2萬元時的銷售利潤．

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