如圖,在直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),拋物線y=x2+bx+3與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A,與y軸的正半軸交于點(diǎn)B,tan∠ABO=
1
3
,頂點(diǎn)為P.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若拋物線向上或向下平移|k|個(gè)單位長度后經(jīng)過點(diǎn)C(-5,6),試求k的值及平移后拋物線的最小值;
(3)設(shè)平移后的拋物線與y軸相交于D,頂點(diǎn)為Q,點(diǎn)M是平移的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).請?zhí)骄浚寒?dāng)點(diǎn)M在何位置時(shí),△MBD的面積是△MPQ面積的2倍求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).友情提示:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸是x=-
b
2a
,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-
b
2a
,
4ac-b2
4a
)
(1)令x=0,則y=3.
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),OB=3.
∵tan∠OAB=
OA
AB
=
OA
3
=
1
3
,
∴AO=1.
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0).
∴0=(-1)2+b(-1)+3.
求得b=4.
∴所求的拋物線解析式為y=x2+4x+3.

(2)設(shè)平移后拋物線的解析式為y=x2+4x+3+k.
∵它經(jīng)過點(diǎn)(-5,6),
∴6=(-5)2+4(-5)+3+k.
∴k=-2.
∴平移后拋物線的解析式為y=x2+4x+3-2=x2+4x+1.
配方,得y=(x+2)2-3.
∵a=1>0,
∴平移后的拋物線的最小值是-3.

(3)由(2)可知,BD=PQ=2,對(duì)稱軸為x=-2.
又S△MBD=2S△MPQ,
∴BD邊上的高是PQ邊上的高的2倍.
設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n).
①當(dāng)M點(diǎn)的對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí),則有0-m=2(-2-m).
∴m=-4.
∴n=(-4)2+4(-4)+1=1.
∴M(-4,1).
②當(dāng)M點(diǎn)在對(duì)稱軸與y軸之間時(shí),則有0-m=2[m-(-2)].
∴m=-
4
3

∴n=(-
4
3
2+4(-
4
3
)+1=-
23
9

∴M(-
4
3
,-
23
9
).
③當(dāng)M點(diǎn)在y軸的右側(cè)時(shí),則有m=2[(m-(-2)].
∴m=-4<0,不合題意,應(yīng)舍去.
綜合上述,得所求的M點(diǎn)的坐標(biāo)是(-4,1)或(-
4
3
,-
23
9
).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=-x2-(m-1)x+m2-6交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A,交y軸正半軸于點(diǎn)B(0,3),頂點(diǎn)C位于第二象限,連接AB,AC,BC.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)D是y軸正半軸上一點(diǎn),且在B點(diǎn)上方,若∠DCB=∠CAB,請你猜想并證明CD與AC的位置關(guān)系;
(3)設(shè)與△AOB重合的△EFG從△AOB的位置出發(fā),沿x軸負(fù)方向平移t個(gè)單位長度(0<t≤3)時(shí),△EFG與△ABC重疊部分的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

二次函數(shù)圖象過A、B、C三點(diǎn),點(diǎn)A(-l,0),B(3,0),點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上,且OB=OC.
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式:
(2)將該二次函數(shù)圖象向右平移幾個(gè)單位,可使平移后所得圖象過點(diǎn)(1,5),并求出平移后圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖:已知拋物線y=
1
4
x2+
3
2
x-4與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)已知矩形DEFG的一條邊DE在AB上,頂點(diǎn)F,G分別在線段BC,AC上,設(shè)OD=m,矩形DEFG的面積為S,求S與m的函數(shù)關(guān)系式,并指出m的取值范圍;
(3)當(dāng)矩形DEFG的面積S取最大值時(shí),連接對(duì)角線DF并延長至點(diǎn)M,使FM=
2
5
DF.試探究此時(shí)點(diǎn)M是否在拋物線上,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖1,已知直線l:y=-x+2與y軸交于點(diǎn)A,拋物線y=(x-1)2+k經(jīng)過點(diǎn)A,其頂點(diǎn)為B,另一拋物線y=(x-h)2+2-h(h>1)的頂點(diǎn)為D,兩拋物線相交于點(diǎn)C.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo),并說明點(diǎn)D在直線l上的理由;
(2)設(shè)交點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m.
①交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)可以表示為:______或______,由此進(jìn)一步探究m關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式;
②如圖2,若∠ACD=90°,求m的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

為了美化校園環(huán)境,某中學(xué)準(zhǔn)備在一塊空地(如圖,矩形ABCD,AB=10m,BC=20m)上進(jìn)行綠化.中間的一塊(圖中四邊形EFGH)上種花,其他的四塊(圖中的四個(gè)Rt△)上鋪設(shè)草坪,并要求AE=AH=CF=CG.那么在滿足上述條件的所有設(shè)計(jì)中,是否存在一種設(shè)計(jì),使得四邊形EFGH(中間種花的一塊)面積最大?若存在,請求出該設(shè)計(jì)中AE的長和四邊形EFGH的面積;若不存在,請說明理由!

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

某商場銷售某種品牌的純牛奶,已知進(jìn)價(jià)為每箱40元,生產(chǎn)廠家要求每箱售價(jià)在40元至70元之間.市場調(diào)查發(fā)現(xiàn):若每箱以50元銷售,平均每天可銷售90箱,價(jià)格每降低1元,平均每天多銷售3箱,價(jià)格每升高l元,平均每天少銷售3箱.
(1)寫出平均每天銷售量y(箱)與每箱售價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式.(注明范圍)
(2)求出商場平均每天銷售這種牛奶的利潤W(元),與每箱牛奶的售價(jià)x(元)之間的二次函數(shù)關(guān)系式.(每箱的利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià))
(3)求出(2)中二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo),并求當(dāng)x=40,70時(shí)W的值.在給出的坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象的草圖.
(4)由函數(shù)圖象可以看出,當(dāng)牛奶售價(jià)為多少時(shí),平均每天的利潤最大?最大利潤為多少?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

若二次函數(shù)y=kx2-2x-l與x軸有交點(diǎn),則k的取值范圍是( 。
A.k>-1B.k≤1且k≠0C.k<-1D.k≥-1且k≠0

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象,由圖象可知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根分別是______.

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同步練習(xí)冊答案