Question

如圖，直線y=x+b的雙曲線y=

m

x

(x＜0)交于點(diǎn)A（-1，-5），并分別與x軸、y軸交于點(diǎn)C、B．
（1）寫出b、m的值；
（2）連結(jié)OA，求∠OAB的正切值；
（3）點(diǎn)D在x軸的正半軸上，若以點(diǎn)D、C、B組成的三角形與△OAB相似，試求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）直接將A點(diǎn)代入求出b，m的值即可；
（2）利用勾股定理得出FO，AO，AF的長，進(jìn)而求出答案；
（3）利用圖形得出當(dāng)△AOB∽DBC時(shí)，以及當(dāng)△AOB∽BD′C時(shí)，分別求出即可．

解答：解：（1）∵直線y=x+b的雙曲線y=

m

x

(x＜0)交于點(diǎn)A（-1，-5），
∴-1+b=-5，m=（-1）×（-5）=5，
∴解得：b=-4，m=5；

（2）如圖1，過點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F，
∵A（-1，-5），
∴AE=1，EO=5，∴AO=

26

，
∵y=x-4，
∴圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，0），與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，-4），
∴CO=OB=4，
又∵OF⊥BC，
∴FO=

1

2

BC=

1

2

42+42

=2

2

，
∴AF=

26-(2 2 )2

=3

2

，
∴∠OAB的正切值為：tan∠OAB=

OF

AF

=

2

3

；

（3）解：如圖2所示：過點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，
∵CO=OB=4，∠COB=90°，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠ABE=45°，∠BCD=135°，
∴∠ABO=135°，
∵AB=

12+12

=

2

，BO=4，BC=4

2

，
當(dāng)△AOB∽DBC時(shí)，

AB

CD

=

BO

BC

，
∴

2

CD

=

4

4 2

，
解得：CD=2，
∴DO=6，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為：（6，0），
當(dāng)△AOB∽BD′C時(shí)，

AB

BC

=

BO

CD′

，
∴

2

4 2

=

4

CD′

，
解得：CD′=16，
∴D′O=16+4=20，
∴D′點(diǎn)坐標(biāo)為：（20，0），
故符合要求的D點(diǎn)坐標(biāo)為：（6，0），（20，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)綜合以及勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．