Question

11．如圖，四邊形OACB中，CM⊥OA，∠A+∠B=180°，OA+OB=2OM，CA=CB．求證：OC平分∠AOB．

Answer 1

分析 作CN⊥OB于N，由鄰補角定義和已知條件證出∠1=∠A，由AAS證明△BCN≌△ACM，得出CN=CM，即可得出OC平分∠AOB．

解答 證明：作CN⊥OB于N，如圖所示：
則∠CNB=90°，
∵CM⊥OA，
∴∠CMA=90°=∠CNB，
∵∠A+∠OBC=180°，∠1+∠OBC=180°，
∴∠1=∠A，
在△BCN和△ACM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠A}&{\;}\\{∠CNB=∠CMA}&{\;}\\{CB=CA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCN≌△ACM（AAS），
∴CN=CM，
又∵CN⊥OB于N，CM⊥OA于M，
∴OC平分∠AOB．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的判定、鄰補角定義；通過作輔助線證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．