Question

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，一次函數y＝ax＋b的圖象與二次函數

y＝ax²＋bx的圖象交于點A、B．其中a、b均為非零實數．

（1）當a＝b＝1時，求AB的長；

（2）當a＞0時，請用含a、b的代數式表示△AOB的面積；

（3）當點A的橫坐標小于點B的橫坐標時，過點B作x軸的垂線，垂足為B′．若二次函數y＝ax²＋bx的圖象的頂點在反比例函數y＝的圖象上，請用含a的代數式表示△BB′A的面積．

Answer 1

解：（1）當a＝b＝1時，一次函數為y＝x＋1，二次函數為y＝x²＋x．

由x＋1＝x²＋x，解得x₁＝1，x₂＝－1，可得 y₁＝2，y₂＝－0．

∴點A，B的坐標為（1，2）或（－1，0）．

∴AB＝＝2．                                                 

（2）由ax＋b＝ax²＋bx得ax²＋(b－a)x－b＝0，解得：x₁＝－，x₂＝1．

不妨設A（－，0），B（1，a＋b）．

當b＞0時，S_△AOB＝×(a＋b)＝；

當b＝0時，△AOB不存在．

當－a＜b＜0時，S_△AOB＝×(a＋b)＝－；

當b＝－a時，△AOB不存在．

當b＜－a時，S_△AOB＝×(－a－b)＝；                       

（3）y＝ax²＋bx＝a²－ ，拋物線的頂點坐標為：．     

∵拋物線的頂點在雙曲線y＝上，∴－＝，即－b³＝－8a³．

∴b＝2a．

∴A（－2，0），B（1，3a），∴AB′＝3， BB′＝．

∴S_△ABB′＝ AB′·BB′．

當a＞0時, S_△ABB′＝ AB′·BB′＝．

當a＜0時,S_△ABB′＝ AB′·BB′＝－．