Question

如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC=90°，點(diǎn)P是圓外一點(diǎn)，PA切⊙O于點(diǎn)A，且PA=PB．
（1）試說(shuō)明：PB是⊙O的切線；
（2）已知⊙O的半徑為

3

，AB=2

2

，求PA的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OB，OP，交AB于點(diǎn)D，根據(jù)SSS證△OAP≌△OBP，推出∠OBP=∠OAP=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）求出BC長(zhǎng)，證△OBC∽△PAB，得出比例式，代入求出即可．

解答：解：（1）連接OB，OP，交AB于點(diǎn)D

∵⊙O是Rt△ABC的外接圓，
∴AC是⊙O的直徑，
又∵PA與⊙O相切，
∴∠OAP=90°，在△OAP和△OBP中

PA=PB OA=OB OP=OP

，
∴△OAP≌△OBP，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
即OB⊥BP．
又∵點(diǎn)B在⊙O上，
∴PB是⊙O的切線．

（2）∵∠ABC=∠OBP=90°，
∴∠OBC=∠ABP，
又∵OC=OB，PA=PB，
∴∠OCB=∠OBC=∠ABP=∠BAP，
∴△OCB∽△PAB，
∴

OC

PA

=

BC

AB

即

3

PA

=

BC

2 2

，
而在Rt△ABC中，AB=2

2

，AC=2

3

，
∴BC=2
∴PA=

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，切線的判定，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，主要培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，題目具有一定的代表性，難度也適中．