Question

如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC長(zhǎng)8，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，PM+PN的最小值是5，則菱形的邊長(zhǎng)等于____________。

Answer 1

5

試題分析：首先作點(diǎn)M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接M′N(xiāo)交AC于P，此時(shí)MP+NP有最小值．然后證明四邊形PMBN為菱形，即可求出MP+NP=BM+BN=BC=5．
作點(diǎn)M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接M′N(xiāo)交AC于P，此時(shí)MP+NP有最小值．

∵菱形ABCD關(guān)于AC對(duì)稱，M是AB邊上的中點(diǎn)，
∴M′是AD的中點(diǎn)，
又N是BC邊上的中點(diǎn)，
∴AM′∥BN，AM′=BN，
∴四邊形AM′N(xiāo)B是平行四邊形，
∴PN∥AB，
又N是BC邊上的中點(diǎn)，
∴P是AC中點(diǎn)，
∴PM∥BN，PM=BN，
∴四邊形PMBN是平行四邊形，
∵BM=BN，
∴平行四邊形PMBN是菱形．
∴MP+NP=BM+BN=BC=5．
故答案為5．
點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是判斷當(dāng)PMBN為菱形時(shí)，MP+NP有最小值。