Question

已知：如圖，M是弧AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的弦MN交弦AB于點(diǎn)C，設(shè)⊙O的半徑為4cm，MN=4cm．

（1）求圓心O到弦MN的距離；

（2）猜想OM和AB的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）求∠ACM的度數(shù)．

Answer 1

（1）2cm（2）OM⊥AB（3）60°

【解析】

試題分析：（1）連接OM，由垂徑定理可知MD=ND，在Rt△MOD中，已知OM、MD，易求OD．

（2）連接OA、OB，由于M是弧AB的中點(diǎn)，易證∠AOM=∠BOM，又OA=OB，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，易證OM⊥AB．

（3）利用銳角三角函數(shù)，易求∠OMD=30°，進(jìn)而易求∠ACM=60°．

【解析】
（1）連接OM，

∵點(diǎn)M是弧AB的中點(diǎn)，

∴OM⊥AB，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥MN于點(diǎn)D，

由垂徑定理，得MD=MN=2．

在Rt△ODM中，OM=4，MD=2，

∴OD==2

故圓心O到弦MN的距離為2cm．

（2）猜想：OM⊥AB

連接OA、OB，由M是弧AB的中點(diǎn)，

得∠AOM=∠BOM，

又因?yàn)镺A=OB，所以O(shè)M⊥AB．

（3）cos∠OMD=，

∴∠OMD=30°，

∵OM⊥AB，

∴∠ACM=60°．