Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是10cm，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別從點(diǎn)A，B，C，D出發(fā)，以2cm/s的速度同時(shí)向點(diǎn)B，C，D，A運(yùn)動(dòng)．
（1）在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形EFGH是何種四邊形？并說(shuō)明理由．
（2）運(yùn)動(dòng)多少秒后，四邊形EFGH的面積是52cm²？

Answer 1

（1）四邊形EFGH是正方形．
設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，
∴AE=BF=CG=DH=2t，
∵正方形ABCD，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90° AB=BC=CD=DA=10cm，
∴BE=CF=DG=AH，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，
∴EH=EF=FG=HG，
∴四邊形EFGH是菱形，
∵△AEH≌△BFE，
∴∠AEH=∠EFB，
∵∠EFB+∠BEF=90°，
∴∠AEH+∠BEF=90°，
∴∠HEF=90°，
∴四邊形EFGH是正方形，

（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H的運(yùn)動(dòng)速度為2cm/s，
∴AE=BF=CG=DH=2x，
∵AB=BC=CD=DA=10cm，BE=CF=DG=AH，
∴BE=CF=DG=AH=10-x，
由勾股定理可得：EH²=AE²+AH²=（2x）²+（10-2x）²=8x²-40x+100，
∵S_{四邊形EFGH}=EH²，
∴當(dāng)S=52cm²時(shí)，
8x²-40x+100=52，
∴x²-5x+6=0，
∴（x-2）（x-3）=0，
∴x₁=2，x₂=3，
∵當(dāng)x₁=2時(shí)，2t=2×2=4cm＜10cm，
當(dāng)x₂=3時(shí)，2t=2×3=6cm＜10cm，
∴x=2或x=3，
答：運(yùn)動(dòng)2秒或3秒后，四邊形EFGH的面積是52cm²．