Question

（2013•蘇州）如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，連接DP并延長DP交邊AB于點(diǎn)E，連接BP并延長交邊AD于點(diǎn)F，交CD的延長線于點(diǎn)G．
（1）求證：△APB≌△APD；
（2）已知DF：FA=1：2，設(shè)線段DP的長為x，線段PF的長為y．
①求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)x=6時(shí)，求線段FG的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△APB≌△APD；
（2）①首先證明△DFP≌△BEP，進(jìn)而得出

DG

AB

=

1

2

，

BE

AB

=

1

3

，進(jìn)而得出

DP

PE

=

DG

EB

，即

3

2

=

x

y

，即可得出答案；
②根據(jù)①中所求得出PF=PE=4，DP=PB=6，進(jìn)而得出

GF

BF

=

DG

AB

=

1

2

，求出即可．

解答：（1）證明：∵點(diǎn)P是菱形ABCD對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，
∴∠DAP=∠PAB，AD=AB，
∵在△APB和△APD中

AD=AB ∠DAP=∠PAB AP=AP

，
∴△APB≌△APD（SAS）；

（2）解：①∵△APB≌△APD，
∴DP=PB，∠ADP=∠ABP，
∵在△DFP和△BEP中，

∠FDP=∠EBP DP=BP ∠FPD=∠EPB

，
∴△DFP≌△BEP（ASA），
∴PF=PE，DF=BE，
∵GD∥AB，
∴

DF

AF

=

GD

AB

，
∵DF：FA=1：2，
∴

DG

AB

=

1

2

，

BE

AB

=

1

3

，
∴

DG

BE

=

3

2

，
∵

DP

PE

=

DG

EB

，即

3

2

=

x

y

，
∴y=

2

3

x；

②當(dāng)x=6時(shí)，y=

2

3

×6=4，
∴PF=PE=4，DP=PB=6，
∵

GF

BF

=

DG

AB

=

1

2

，
∴

FG

10

=

1

2

，
解得：FG=5，
故線段FG的長為5．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)平行關(guān)系得出

DG

AB

=

1

2

，

BE

AB

=

1

3

是解題關(guān)鍵．