如圖①②③…,M,N分別是⊙O的內接正三角形A1A2A3,方形A1A2A3A4,正五邊形A1A2A3A4A5,…,正n邊形A1A2A3…An的邊A1A2,A2A3上的點,且A2M=A3N,連接OM,ON.
(1)求圖①中∠MON的度教.
(2)圖②中∠MON的度數(shù)是______,圖③∠MON的度數(shù)是______.
(3)試探究∠MON的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n的關系.(直接寫出答案)

解:(1)如圖①,連接OA2、OA3
∵A1A2=A1A3,
∴∠A1A2A3=∠A1A3A2,
∵OA3=OA2,O是外接圓的圓心,
∴A3O平分∠A1A3A2,
∴∠OA2A3=∠OA3A2=30°,
∴∠OA2M=∠OA3N=30°,
∵A2M=A3N,OA2=OA3,
∴△OMA2≌△ONA3,
∴∠A2OM=∠A3ON,
∴∠MON=∠A2OA3,
∵∠A2OA3==120°;
∴∠MON=∠A2OA3=120°;

(2)如圖②,連接OA2、OA3,
易證△OMA2≌△ONA3,
∴∠A2OM=∠A3ON,
∴∠MON=∠A2OA3,
∵∠A2OA3==90°;
∴∠MON=∠A2OA3=90°;
如圖③,連接OA3、OA4,
易證△OMA3≌△ONA4
∴∠A3OM=∠A4ON,
∴∠MON=∠A3OA4
∵∠A3OA4==72°;
∴∠MON=∠A3OA4=72°;

(3)由圖①可知,n=3時,∠MON==120°;
在圖②中,n=4時,∠MON==90°;
在圖③中,n=5時,∠MON==72°;
…,
則正多邊形的邊數(shù)為n時,∠MON=
故答案為90°,72°.
分析:(1)連接OA2、OA3,先利用SAS證明△OMA2≌△ONA3,得出∠A2OM=∠A3ON,則∠MON=∠A2OA3,再由正n邊形的中心角為即可求出∠A2OA3=120°;
(2)同(1)即可解答;
(3)由(1)、(2)找出規(guī)律,即可解答.
點評:本題考查的是正多邊形和圓,根據(jù)題意作出輔助線,構造出全等三角形是解答此題的關鍵,注意正多邊形外接圓的圓心與其中心重合.
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