Question

如圖AB是⊙O的直徑，⊙O過(guò)BC的中點(diǎn)D，且DE⊥AC于點(diǎn)E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若∠C=30°，CD=

3

，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）連接OD，AD只要證明OD⊥DE即可．此題可運(yùn)用三角形的中位線定理證OD∥AC，因?yàn)镈E⊥AC，所以O(shè)D⊥DE．
（2）連接AD，從而得到∠ADB=90°，根據(jù)已知條件可得出∠ODB=30°，∠ADO=60°，則△OAD為等邊三角形，利用勾股定理即可求得AD的長(zhǎng)，從而得出OA．

解答：（1）證明：連接OD．
因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，O是AB的中點(diǎn)，
∴OD∥AC，
∴∠CED=∠ODE．           
∵DE⊥AC，
∴∠CED=∠ODE=90°．      
∴OD⊥DE，OD是圓的半徑，
∴DE是⊙O的切線．  

（2）證明：連接AD，
∵OD∥AC，∴∠C=∠ODB=30°，
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，
∴∠ADC=90°，
∵CD=

3

，
∴∠ADO=60°，AD=1，
∴AD=OD=OA=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證它們垂直即可解決問(wèn)題．