Question

12．如圖，AB是⊙O的一條弦，C是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)且∠ACB=45°，E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，直線EF與⊙O交于點(diǎn)G、H．若⊙O的半徑為2，則GE+FH的最大值為4-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 接OA，OB，根據(jù)圓周角定理可得出∠AOB=90°，故△AOB是等腰直角三角形．由點(diǎn)E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理得出EF=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$為定值，則GE+FH=GH-EF=GH-$\sqrt{2}$，所以當(dāng)GH取最大值時(shí)，GE+FH有最大值．而直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，故當(dāng)GH為⊙O的直徑時(shí)，GE+FH有最大值，問(wèn)題得解．

解答 解：連接OA，OB，
∵∠ACB=45°，
∴∠AOB=90°．
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB=2$\sqrt{2}$，
當(dāng)GH為⊙O的直徑時(shí)，GE+FH有最大值．
∵點(diǎn)E、F分別為AC、BC的中點(diǎn)，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，
∴GE+FH=GH-EF=4-$\sqrt{2}$，
故答案為：4-$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題結(jié)合動(dòng)點(diǎn)考查了圓周角定理，三角形中位線定理，有一定難度．確定GH的位置是解題的關(guān)鍵．