Question

幾何證明
（1）已知：如圖1，BD、CE分別是△ABC的外角平分線，過點A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別是F、G，連接FG，延長AF、AG，與直線BC相交．求證：FG=

1

2

（AB+BC+AC）．
（2）若BD、CE分別是△ABC的內(nèi)角平分線，其余條件不變（如圖1），線段FG與△ABC的三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并給予證明．

Answer 1

分析：（1）利用全等三角形的判定定理ASA證得△ABF≌△MBF，然后由全等三角形的對應(yīng)邊相等進一步推出MB=AB，AF=MF，同理CN=AC，AG=NG，由此可以證明FG為△AMN的中位線，然后利用中位線定理求得FG=

1

2

（AB+BC+AC）；
（2）延長AF、AG，與直線BC相交于M、N，與（1）類似可以證出答案．

解答：解：（1）如圖1，∵AF⊥BD，∠ABF=∠MBF，
∴∠BAF=∠BMF，
在△ABF和△MBF中，
∵

∠AFB=∠MFB   BF=BF    ∠ABF=∠MBF

，
∴△ABF≌△MBF（ASA）
∴MB=AB
∴AF=MF，
同理：CN=AC，AG=NG，
∴FG是△AMN的中位線
∴FG=

1

2

MN，
=

1

2

（MB+BC+CN），
=

1

2

（AB+BC+AC）．

（2）圖2中，F(xiàn)G=

1

2

（AB+AC-BC）
理由如下：如圖2，
延長AG、AF，與直線BC相交于M、N，
∵由（1）中證明過程類似證△ABF≌△NBF，
∴NB=AB，AF=NF，
同理CM=AC，AG=MG
∴FG=

1

2

MN，
∴MN=2FG，
∴BC=BN+CM-MN=AB+AC-2FG，
∴FG=

1

2

（AB+AC-BC），
答：線段FG與△ABC三邊的數(shù)量關(guān)系是FG=

1

2

（AB+AC-BC）．

點評：本題主要考查了三角形的中位線定理，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識點，解此題的關(guān)鍵是作輔助線轉(zhuǎn)化成三角形的中位線．