Question

問(wèn)題探究：
（1）請(qǐng)?jiān)趫D①中作出兩條直線，使它們將圓面四等分；

（2）如圖②，M是正方形ABCD內(nèi)一定點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D②中作出兩條直線（要求其中一條直線必須過(guò)點(diǎn)M）使它們將正方形ABCD的面積四等分，并說(shuō)明理由．

問(wèn)題解決：
（3）如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在邊BC上是否存在一點(diǎn)Q，使PQ所在直線將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分？如若存在，求出BQ的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）作圖見(jiàn)解析；（2）作圖和理由見(jiàn)解析；（3）存在，理由見(jiàn)解析.

試題分析：（1）圓內(nèi)兩條互相垂直的直徑即達(dá)到目的；（2）連接AC、BD相交于點(diǎn)O，作直線OM分別交AD、BC于P、Q兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作用OM的垂線分別交AB、CD于E、F兩點(diǎn)，則直線OM、EF將正方形ABCD的面積四等分，可應(yīng)用△AOP≌△EOB得出結(jié)論；（3）把原圖補(bǔ)充成菱形，應(yīng)用菱形的性質(zhì)求解.
試題解析：（1）如圖①所示：

（2）如圖②，連接AC、BD相交于點(diǎn)O，作直線OM分別交AD、BC于P、Q兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作用OM的垂線分別交AB、CD于E、F兩點(diǎn)，則直線OM、EF將正方形ABCD的面積四等分.

理由如下：
∵點(diǎn)O是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，∴點(diǎn)O是正方形ABCD的對(duì)稱(chēng)中心.
∴AP=CQ，EB=DF.
在△AOP和△EOB中，∵∠AOP=90°-∠AOE，∠BOE=90°-∠AOE，∴∠AOP=∠BOE.
∵OA=OB，∠OAP=∠EBO=45°，∴△AOP≌△EOB（ASA）.∴AP="BE=DF=CQ" .
∴AE=BQ=CF=PD.
設(shè)點(diǎn)O到正方形ABCD一邊的距離為.
∴.
∴.
∴直線EF、PQ將正方形ABCD面積四等分.
（3）存在. 當(dāng)BQ=CD=時(shí)，PQ將四邊形ABCD面積二等分.理由如下：
如圖③，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)E，使AE=，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)F，使DF=，連接EF.
∴BE∥CF，BE="CF." ∴四邊形BCFE為平行四邊形.
∵BC=BE=+，∴平行四邊形DBFE為菱形.
連接BF交AD于點(diǎn)M，則△MAB≌△MDF.
∴AM=DM，即點(diǎn)P、M重合.
∴點(diǎn)P是菱形EBCF對(duì)角線的交點(diǎn).
在BC上截取BQ=CD=，則CQ=AB=.
設(shè)點(diǎn)P到菱形EBCF一邊的距離為，
∴.
∴當(dāng)BQ=時(shí)，直線PQ將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分.