Question

如圖，已知點(diǎn)A（0，2），直線l：y=-x-2與x軸交于D點(diǎn)，與y軸交于E點(diǎn)，B是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AB為直徑的圓記作⊙M．
（1）判斷點(diǎn)D是否在⊙M上，并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)⊙M與x軸相切時(shí)，求B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若△ABE為等腰三角形，求出所有符合條件的圓心M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）點(diǎn)D在圓M上，理由為：連接AB，AD，DM，如圖1所示，對(duì)于直線l，求出D與E坐標(biāo)，確定出OD=OE=2，由OA=2，利用勾股定理得到AD=DE，根據(jù)三角形AOD與三角形DOE都為等腰直角三角形，可得出AD垂直于DE，在直角三角形ABD中，由斜邊上的中線等于斜邊的一半得到DM為直徑AB的一半，即D到圓心距離等于半徑，可得出D在圓M上；
（2）連接MD，AD，由∠ADB為直角，利用90度圓周角所對(duì)的弦為直徑得到D在圓M上，由圓M與x軸相切，得到D為切點(diǎn)，進(jìn)而得到BA垂直于y軸，即可確定出此時(shí)B的坐標(biāo)；
（3）由B在直線y=-x-2上，設(shè)B（a，-a-2），分三種情況考慮：①A為頂點(diǎn)時(shí)，AB=AE，由AE長(zhǎng)求出AB的長(zhǎng)，確定出B的坐標(biāo)，由A與B的坐標(biāo)，利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出M坐標(biāo)即可；②B為頂點(diǎn)時(shí)，BA=BE，此時(shí)B與D重合，求出B的坐標(biāo)，利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出此時(shí)M的坐標(biāo)；③E為頂點(diǎn)時(shí)，AE=BE，由A、B、E坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，確定出B坐標(biāo)，利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可確定出M的坐標(biāo)．

解答：
解：（1）點(diǎn)D在圓M上，理由為：連接AB，AD，DM，如圖1所示，
對(duì)于直線l：y=-x-2，令x=0，求出y=-2；令y=0，求出x=-2，
∴D（-2，0），E（0，-2），又A（0，2），
∴OD=OE=OA=2，
根據(jù)勾股定理得：AD=ED=2

2

，AE=AO+OE=4，
∵AD²+DE²=AE²，△AOD與△DOE都為等腰直角三角形，
∴∠ADE=∠ADO+∠EDO=90°，
∴在Rt△ABD中，DM=

1

2

AB，
則D在圓M上；
（2）連接MD，AD，由直線y=-x-2，可得OD=OE=2，又OA=2，
∴△ADE為等腰直角三角形，
∴∠ADB=90°，
∵AB為圓O的直徑，
∴點(diǎn)D在圓M上，
∵圓M與x軸相切，
∴D為切點(diǎn)，
∴MD⊥x軸，即∠MDA+∠ADO=90°，
∵∠ADO=45°，
∴∠MDA=45°，
∵M(jìn)A=MD，
∴∠MAD=∠MDA=45°，
∴∠DAE=45°，
∴∠MAD+∠DAO=90°，
∴BA⊥y軸，
∴AB=2OD=4，
則B（-4，2）；
（3）設(shè)B坐標(biāo)為（a，-a-2），
分三種情況考慮：
①當(dāng)A為頂點(diǎn)時(shí)，AB=AE，B坐標(biāo)為（-4，2），此時(shí)M坐標(biāo)為（-2，2）；
②當(dāng)B為頂點(diǎn)時(shí)，BA=BE，B與D重合，B坐標(biāo)為（-2，0），此時(shí)M坐標(biāo)為（-1，1）；
③當(dāng)E為頂點(diǎn)時(shí)，BE=AE，可得BE²=AE²，即a²+（-a-2+2）²=4²，解得：a₁=-2

2

，a₂=2

2

，
∴B坐標(biāo)為（-2

2

，2

2

-2）或B（2

2

，-2

2

-2），此時(shí)M（-

2

，

2

）或M（

2

，-

2

）．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，圓周角定理，兩點(diǎn)間的距離公式，線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，勾股定理及逆定理，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，利用了分類討論的思想，分類討論時(shí)要注意不重不漏，考慮問(wèn)題要全面．