Question

（本題10分）如圖，P是雙曲線的一個(gè)分支上的一點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，1個(gè)單位長度為半徑作⊙P，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．
（1）求當(dāng)為何值時(shí)，⊙P與直線相切，并求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）直接寫出當(dāng)為何值時(shí)，⊙P與直線相交、相離．

Answer 1

（1）x=1或2 ，P的坐標(biāo)（1,4）或（2，2） (6分);
（2）  (4分)

分析：
（1）利用切線的性質(zhì)以及反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得出，P點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該有兩個(gè)求出即可；
（2）利用函數(shù)圖象進(jìn)而得出符合要求的答案．
解答：

（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
∵P是雙曲線y="4/" x(x＞0)的一個(gè)分支上的一點(diǎn)，
∴xy=k=4，
∵⊙P與直線y=3相切，
∴p點(diǎn)縱坐標(biāo)為：2，
∴p點(diǎn)橫坐標(biāo)為：2，
∵⊙P′與直線y=3相切，
∴p點(diǎn)縱坐標(biāo)為：4，
∴p點(diǎn)橫坐標(biāo)為：1，
∴x=1或2，
P的坐標(biāo)（1，4）或（2，2）。
（2）結(jié)合圖象，即可得出：
當(dāng)1＜x＜2時(shí)，⊙P與直線y=3相交，
當(dāng)x＞2或0＜x＜1時(shí)，⊙P與直線y=3相離。
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合解決問題是解題關(guān)鍵。