Question

平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（-3,0），（0,3），對(duì)稱軸直線交軸于點(diǎn)E,點(diǎn)D為頂點(diǎn).
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是直線AC下方的拋物線上一點(diǎn)，且,，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，且∠MAC=∠ADE，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

Answer 1

（1）y=-x²-2x+3；（2）（-4，-5）或（1，0）；（3）（，）．

試題分析：（1）由已知中點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（-3，0），（0，3），對(duì)稱軸為直線x=-1，得出B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用交點(diǎn)式求出即可求出拋物線的解析式；
（2）由已知中C點(diǎn)坐標(biāo)，再假設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，可求出直線PC解析式，求出R點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)S_△PAC=2S_△DAC，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥DE交DE于點(diǎn)H，設(shè)AC交對(duì)稱軸于點(diǎn)G，AM交y軸于點(diǎn)N，由∠MAC=∠ADE，可得N點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出CN的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程可得M點(diǎn)坐標(biāo)．
（1）由對(duì)稱軸x=-1，A（-3，0），可得B點(diǎn)坐標(biāo)（1，0）
設(shè)y=a（x+3）（x-1），把C（0，3）代入得，4=-8a，
解得：a=-1，
所求解析式為：y=-x²-2x+3；
（2）如圖：y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，頂點(diǎn)D（-1，4），

由A（-3，0）、C（0，3），得直線AC解析式為y=x+3；
設(shè)對(duì)稱軸交AC于點(diǎn)G，則G（-1，2），∴S_△DAC=（4-2）×3=3，
設(shè)P點(diǎn)（m，-m²-2m+3），
設(shè)PC解析式為：y=qx+p，
∴，
解得：k=-m-2，
∴PC解析式為：y=（-m-2）x+3，
設(shè)PC與x軸交于點(diǎn)R，
∴R（，0），
∴AR=3+，
∴S_△APR+S_△CAR=（3+）×（m²+2m-3）+×（3+）×3=+，
則S_△PAC=+，
由S_△PAC=2S_△DAC，∴+=2×3，
解得：m₁=-4，m₂=1，
把m₁=-4，m₂=1分別代入y=-x²-2x+3中，
∴y₁=-5，y₂=0，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，-5）或（1，0）；
（3）由以上可得出：D（-1，4），C（0，3），E（-1，0），
如備用圖：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥DE交DE于點(diǎn)H，

∴H（-1，3），CH=DH=1，∠DCH=∠HCA=∠CA0=45°，
∴CD=，AC=3，△ACD為直角三角形，且tan∠DAC=．
設(shè)AC交對(duì)稱軸于點(diǎn)G，AM交y軸于點(diǎn)N，
∵∠DAC+∠ADE=∠DGC=45°，∠CAM+∠MAO=∠CAO=45°，∠ADE=∠CAM，∠DAC=∠MAO，
∴tan∠MAO=．
∵A（-3，0），
∴ON=1，即N（0，1），
設(shè)直線CN解析式為：y=dx+h
∴，
解得：，
∴直線CN解析式為y=x+1，
聯(lián)立方程
得：x=-3（舍）或x=，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）．