Question

如圖，已知拋物線（為常數(shù)，且）與軸從左至右依次交于A,B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為D.
（1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-5，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若在第一象限的拋物線上有點(diǎn)P，使得以A，B，P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求的值；
（3）在（1）的條件下，設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AF，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F，再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止. 當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少？

Answer 1

（1）；（2）或 ；（3）F.

試題分析：（1）根據(jù)點(diǎn)在曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，依次求出的值得到直線的解析式、點(diǎn)D的縱坐標(biāo)、的值得到拋物線的函數(shù)表達(dá)式.
∵BM=9，AB=6，∴BF=，BD=，AF=
（2）分△PAB∽△ABC和△PAB∽△BAC兩種情況討論即可.
（3）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥y軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥DH于點(diǎn)G，交BD于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求，理由是，由于點(diǎn)M在線段AF上以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，在線段FD上以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，從而根據(jù)直線BD的傾斜角是30°知道，又根據(jù)垂直線段最短的性質(zhì)知點(diǎn)F即為所求，從而根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)求解即可.
試題解析：（1）∵拋物線（為常數(shù)，且）與軸從左至右依次交于A,B兩點(diǎn)，
∴A（-2，0），B（4，0）.
∵點(diǎn)B在直線上，∴，即.
∴直線的解析式為.
∵點(diǎn)D在直線上，且橫坐標(biāo)為-5，∴縱坐標(biāo)為.
∵點(diǎn)D在拋物線上，∴，解得.
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為.
（2）易得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
分兩種情況：
①若△PAB∽△ABC，則∠PAB=∠ABC，.
∴由∠PAB=∠ABC 得，即.
∴，解得.
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，
∴由得，解得.
②若△PAB∽△BAC，則∠PAB=∠BAC，.
∴由∠PAB=∠BAC 得，即.
∴，解得.
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，
∴由得，解得.

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥y軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥DH于點(diǎn)G，交BD于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求.
∵直線BD的解析式為，∴∠FBA=∠FGD=30°.
∵AB=6，∴AF=.
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為.