Question

設(shè)a，b，c都是整數(shù)，ac≠0，且方程ax²+bx+c=0有一個(gè)正根x=t，證明：方程cx²+bx+a=0必有一根t′，使得t+t′≥2．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程根的分布

專題：

分析：先根據(jù)cx²+bx+a=0 的根不等于0，兩邊同時(shí)除以x²可得出

1

x

=t，故可得出t′與t的關(guān)系，再代入t+t′即可得出結(jié)論．

解答：解：∵a≠0，
∴cx²+bx+a=0 的根不等于0，
兩邊同時(shí)除以x²得，a（

1

x

）²+b•

1

x

+c=0①，
∵ax²+bx+c=0 有正根x=t，
∴①式有根

1

x

=t，
∴t'=

1

t

，
∴t+t'=t+

1

t

=（

t

-

1

t

）²+2≥2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程根的分布，將原式轉(zhuǎn)化為a（

1

x

）²+b•

1

x

+c=0是解題的關(guān)鍵．