Question

如圖，⊙O是△ABE的外接圓，點O在AB上，BF為⊙O的切線，∠ABE=30°，過點O作OD⊥BE，垂足為D，延長OD交BF于點C，求證：BE=BC．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：由AB是⊙O的直徑，BF為⊙O的切線，易得∠E=∠OBC=90°，由∠ABE=30°，可得∠OCB=∠ABE=30°，AE=OB=

1

2

AB，繼而證得△OBC≌△AEB（AAS），則可證得結(jié)論．

解答：證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠E=90°，
∵∠ABE=30°，
∴AE=

1

2

AB，
∵BF為⊙O的切線，
∴OB⊥BF，
∴∠OBC=90°，
∵OD⊥BE，
∴∠BOD=90°-∠ABE=60°，
∴∠OCB=90°-∠BOD=30°，
∴∠OBC=∠E，∠OCB=∠ABE，
∵OB=

1

2

AB，
∴OB=AE，
在△OBC和△AEB中，

∠OBC=∠E ∠OCB=∠ABE OB=AE

，
∴△OBC≌△AEB（AAS），
∴BE=BC．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．