Question

如圖，在矩形ABCD中，BC=20cm，P、Q、M、N分別從A、B、C、D出發(fā)沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的邊上同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動(dòng)邊的另一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)即停止．已知在相同時(shí)間內(nèi)，若BQ=xcm（x≠0），則AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x²cm．
（1）當(dāng)x為何值時(shí)，以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊構(gòu)成一個(gè)三角形；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，以P、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；
（3）以P、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形能否為等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合或點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊可能構(gòu)成一個(gè)三角形．
①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，由x²+2x=20，得x₁=

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-1，x₂=-

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-1（舍去）．
因?yàn)锽Q+CM=x+3x=4（

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-1）＜20，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)M不重合．
所以x=

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-1符合題意．
②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，由x+3x=20，得x=5．
此時(shí)DN=x²=25＞20，不符合題意．
故點(diǎn)Q與點(diǎn)M不能重合．
所以所求x的值為

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-1．

（2）由（1）知，點(diǎn)Q只能在點(diǎn)M的左側(cè)，
①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)時(shí)，
由20-（x+3x）=20-（2x+x²），
解得x₁=0（舍去），x₂=2．
當(dāng)x=2時(shí)四邊形PQMN是平行四邊形．
②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí)，
由20-（x+3x）=（2x+x²）-20，
解得x₁=-10（舍去），x₂=4．
當(dāng)x=4時(shí)四邊形NQMP是平行四邊形．
所以當(dāng)x=2或x=4時(shí)，以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

（3）過點(diǎn)Q，M分別作AD的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)．
由于2x＞x，
所以點(diǎn)E一定在點(diǎn)P的左側(cè)．
若以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，
則點(diǎn)F一定在點(diǎn)N的右側(cè)，且PE=NF，
即2x-x=x²-3x．
解得x₁=0（舍去），x₂=4．
由于當(dāng)x=4時(shí)，以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
所以以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形不能為等腰梯形．